Question

15．如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接（平滑连接）而成，圆形轨道的半径为R，一质量为m的小物块从斜轨道上由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动（重力加速度为g）．求
（1）若h=3R，求物块从斜面滑下运动圆形轨道底部时对底部的压力？
（2）物块恰能通过圆形轨道最高点时，初始位置相对于圆形轨道底部的高度h为多少？

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒求得在底部的速度，然后由牛顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力；
（2）通过牛顿第二定律求得在最高点的速度，然后应用机械能守恒求得高度．

解答 解：（1）物块在光滑轨道上运动，只有重力做功，故机械能守恒，设物块在圆形轨道底部的速度为v，则有：$mgh=\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
那么，由牛顿第二定律可得：物块受到的支持力${F}_{N}=mg+\frac{m{v}^{2}}{R}=mg+2mg\frac{h}{R}=7mg$，方向竖直向上；
故由牛顿第三定律可得：物块从斜面滑下运动到圆形轨道底部时对底部的压力为7mg，方向竖直向下；
（2）物块恰能通过圆形轨道最高点，对物块在最高点应用牛顿第二定律有$mg=\frac{mv{′}^{2}}{R}$；
物块在光滑轨道上运动，只有重力做功，故机械能守恒，设物块在圆形轨道最高点的速度为v′，则有：$mg（h-2R）=\frac{1}{2}mv{′}^{2}$=$\frac{1}{2}mgR$，所以，$h=\frac{5}{2}R$；
答：（1）若h=3R，物块从斜面滑下运动到圆形轨道底部时对底部的压力为7mg，方向竖直向下；
（2）物块恰能通过圆形轨道最高点时，初始位置相对于圆形轨道底部的高度h为$\frac{5}{2}R$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．