Question

10．如图所示，水平平台上放有两个物块A、B，B放在平台的边缘，A、B相距L，物块与水平面间的动摩擦因数为μ，两物块的质量均为m，平台下h处的另一水平平台边缘C接有一竖直的光滑圆弧轨道CDE，圆心O与C的连线CO与水平方向的夹角为30°，给A一个初速度，若A与B碰后粘连在一起，刚好能从C点无碰撞地滑人圆弧轨道，并恰好能到达圆弧轨道的最高点E，则A的初动能多大？圆环轨道的半径R多大？（整个过程忽略空气阻力）

Answer 1

分析 对A在和B碰前的运动过程应用动能定理，对AB碰撞过程应用动量守恒，然后根据平抛运动的速度位移公式求得初动能及在C处的速度，然后对从C到E的过程应用机械能守恒，并在E处应用牛顿第二定律即可求解．

解答 解：物体A和B碰撞前在水平面上的运动过程只有摩擦力做功，设A开始运动的速度为v₀，和B碰前瞬间的速度为v₁，那么由动能定理可得：$-μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$；
A与B碰后粘连在一起，故AB发生完全非弹性碰撞，那么碰后AB整体的速度为$\frac{1}{2}{v}_{1}$；
AB从平台边缘到C的运动过程为平抛运动，所以，水平速度不变；又有AB能从C点无碰撞地滑人圆弧轨道，且圆心O与C的连线CO与水平方向的夹角为30°，那么，AB在C点的速度${v}_{C}=\frac{\frac{1}{2}{v}_{1}}{sin30°}={v}_{1}$；
根据平抛运动位移公式可得：$h=\frac{{{v}_{y}}^{2}}{2g}=\frac{（{v}_{C}cos30°）^{2}}{2g}=\frac{3{{v}_{1}}^{2}}{4g}$；
AB在光滑圆弧轨道上运动，只有重力做功，故机械能守恒，则有：$\frac{1}{2}•2m{{v}_{C}}^{2}=m{{v}_{1}}^{2}=mgR（1+sin30°）+\frac{1}{2}•2m{{v}_{E}}^{2}$=$\frac{3}{2}mgR+m{{v}_{E}}^{2}$；
又有AB恰好能到达圆弧轨道的最高点E，故对AB在E应用牛顿第二定律可得：$2mg=\frac{2m{{v}_{E}}^{2}}{R}$；
所以，${{v}_{1}}^{2}=\frac{3}{2}gR+{{v}_{E}}^{2}=\frac{5}{2}gR$，所以，$R=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{\frac{5}{2}g}=\frac{h}{\frac{3}{4g}•\frac{5}{2}g}=\frac{8}{15}h$；
A的初动能$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+μmgL=\frac{2}{3}mgh+μmgL$；
答：A的初动能为$\frac{2}{3}mgh+μmgL$；圆环轨道的半径R为$\frac{8}{15}h$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．