Question

10．如图所示，倾角为θ=37°的足够长平行导轨顶端bc间、底端ad间分别连一电阻，其阻值为R₁=R₂=2r，两导轨间距为L=1m．在导轨与两个电阻构成的回路中有垂直于轨道平面向下的磁场，其磁感应强度为B₁=1T．在导轨上横放一质量m=1kg、电阻为r=1Ω、长度也为L的导体棒ef，导体棒与导轨始终良好接触，导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ=0.5．在平行导轨的顶端通过导线连接一面积为S=0.5m²、总电阻为r、匝数N=100的线圈（线圈中轴线沿竖直方向），在线圈内加上沿竖直方向，且均匀变化的磁场B₂（图中未画），连接线圈电路上的开关K处于断开状态，g=10m/s²，不计导轨电阻．
求：
（1）从静止释放导体棒，导体棒能达到的最大速度是多少？
（2）导体棒从静止释放到稳定运行之后的一段时间内，电阻R₁上产生的焦耳热为Q=0.5J，那么导体下滑的距离是多少？
（3）现闭合开关K，为使导体棒静止于倾斜导轨上，那么在线圈中所加磁场的磁感应强度的方向及变化率$\frac{△{B}_{2}}{△t}$大小的取值范围？

Answer 1

分析 （1）当导体棒加速度为零时，速度最大，结合切割产生的感应电动势公式、闭合电路欧姆定律和安培力公式求出导体棒的最大速度．
（2）根据电阻R₁上产生的焦耳热得出整个回路产生的焦耳热，结合动能定理，抓住克服安培力做功等于整个回路产生的焦耳热，求出导体棒下滑的距离．
（3）当安培力较大时，导体棒所受的摩擦力沿斜面向下，当安培力较小时，导体棒所受的摩擦力沿斜面向上，抓住临界状态，结合平衡，以及法拉第电磁感应定律，串并联电路的特点求出磁感应强度变化率的范围．

解答 解：（1）对导体棒，由牛顿第二定律有mgsinθ-μmgcosθ-BIL=ma        ①
其中I=$\frac{E}{{R}_{总}}=\frac{BLv}{r+\frac{2r}{2}}=\frac{BLv}{2r}$，②
由①②知，随着导体棒的速度增大，加速度减小，当加速度减至0时，导体棒的速度达最大v_m，有：
${v}_{m}=\frac{2mgr（sinθ-μcosθ）}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
代入数据解得v_m=4m/s      ③
（2）导体棒从静止释放到稳定运行之后的一段时间内，由动能定理有
mgsinθ•d-μmgcosθ•d-W_克安=$\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}$，④
根据功能关系有：W_克安=E_电=Q_总，⑤
根据并联电路特点得，Q_总=4Q       ⑥
由③④⑤⑥联立得d=5m．
（3）开关闭合后，导体棒ef受到的安培力F′=B₁I_efL   ⑧
干路电流$I′=\frac{E′}{{R}_{总}}=\frac{1}{{R}_{总}}•N\frac{△Φ}{△t}=\frac{NS}{{R}_{总}}•\frac{△{B}_{2}}{△t}$  ⑨
电路的总电阻${R}_{总}=r+\frac{1}{\frac{1}{r}+\frac{1}{2r}+\frac{1}{2r}}=\frac{3}{2}r$  ⑩
根据电路规律及⑨⑩得${I}_{ef}=\frac{△{B}_{2}}{△t}•\frac{NS}{3r}$⑪
由⑧⑪联立得$\frac{△{B}_{2}}{△t}=\frac{F′•3r}{N{B}_{1}LS}$⑫
当安培力较大时F_max=mgsinθ+μmgcosθ=10N⑬
由⑫⑬解得$（\frac{△{B}_{2}}{△t}）_{max}=0.6T/s$⑭
安培力较小时F_min=mgsinθ-μmgcosθ=2N⑮
由⑫⑮得$（\frac{△{B}_{2}}{△t}）_{min}=0.12T/s$⑯
为使导体棒静止于倾斜导轨上，磁感应强度的变化的取值范围为：$0.12T/s≤\frac{△{B}_{2}}{△t}≤0.60T/s$．
根据楞次定律和安培定则知闭合线圈中所加磁场：若方向竖直向上，则均匀减小；若方向竖直向下，则均匀增强．
答：（1）从静止释放导体棒，导体棒能达到的最大速度是4m/s；
（2）导体下滑的距离是5m；
（3）在线圈中所加磁场的磁感应强度若方向竖直向上，则均匀减小；若方向竖直向下，则均匀增强．$\frac{△{B}_{2}}{△t}$大小的取值范围为$0.12T/s≤\frac{△{B}_{2}}{△t}≤0.60T/s$．

点评 本题考查了电磁感应与力学和能量的综合运用，知道导体棒加速度为零时，速度最大，知道克服安培力做功等于整个回路产生的热量，对于第三问，实质是共点力平衡的运用，通过法拉第电磁感应定律和欧姆定律、安培力公式综合求解．