Question

8．如图所示，AB为粗糙水平面，长度AB=5R，其右端与光滑、半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧BC平滑相接，C点的切线沿竖直方向，在C点的正上方有一离C点高度也为R的旋转平台，沿平台直径方向开有两个离轴心距离相等的小孔P、Q，旋转时两孔均能达到C点的正上方．某时刻，质量为m可视为质点的滑块，与水平地面间的动摩擦因数μ=0.1，当它以v₀=3$\sqrt{gR}$的速度由A点开始向B点滑行时：
（1）求滑块通过C点的速度；
（2）求滑块通过P点的速度；
（3）若滑块滑过C点后能通过P孔，又恰能从Q孔落下，则平台转动的角速度ω应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）滑块由A点到C点，利用动能定理即可求到达C点的速度．
（2）滑块由A点到P点，利用动能定理即可求到达P点的速度．
（3）滑块穿过P孔做竖直上抛运动，由题意，滑块滑过C点后正好穿过P孔，又恰能从Q孔落下，故应在滑块下落的时间内，平台转动半周的奇数倍．根据滑块上抛的时间，求出平台转动的周期，即可求出角速度的条件．

解答 解：（1）滑块由A点到C点，由动能定理有
-μmg•5R-mgR=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv₀²．
代入数据解得 v_C=$\sqrt{6gR}$
（2）设滑块到达P处时速度为v_P，则由动能定理有
-μmg•5R-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_P²-$\frac{1}{2}$mv₀²．
代入数据解得 v_P=2$\sqrt{gR}$
（3）滑块穿过P孔后再回到平台的时间 t=$\frac{2{v}_{P}}{g}$
要想使滑块从Q孔穿过，需满足ωt=（2n+1）π （n=0，1，2，…）
联立解得ω=$\frac{（2n+1）π}{4}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$ （n=0，1，2，…）
答：
（1）滑块通过C点的速度是$\sqrt{6gR}$；
（2）滑块通过P点的速度是2$\sqrt{gR}$；
（3）若滑块滑过C点后能通过P孔，又恰能从Q孔落下，则平台转动的角速度ω应满足的条件是ω=$\frac{（2n+1）π}{4}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$ （n=0，1，2，…）．

点评 本题考查机械能守恒定律及动能定理的应用，在解题时要注意灵活选择运动过程，对不同的过程应用合适的物理规律；同时注意最后一问中的周期性．