题目内容
如图所示，AB是固定在竖直平面内半径为R的光滑半圆弧，CD是与AB在同一竖直平面内半径为1.5R的四分之一光滑圆弧轨道，其底端D切线水平，且与AB弧圆心O1等高．现将质量为m的小球（可视为质点）从圆弧CD上与圆心O2等高的C处由静止开始释放，小球落进半圆弧AB并与之内壁碰撞，碰撞过程中不损失机械能，结果小球刚好能回到D点并能沿DC弧返回C处．g=10m/s2．求：（1）小球刚滑倒D点时，对D段的压力大小
（2）CD弧底端D距AB弧圆心O1的距离
（3）小球与圆弧AB的内壁碰撞时的速度大小．
【答案】分析：（1）小球从C滑到D的过程，由机械能守恒定律求出小球到达D点的速度．经过D点时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求解．
（2）球欲回到D点，与弧面的碰撞必须是垂直弧面的碰撞，根据平抛运动的规律和几何关系求解D距AB弧圆心O1的距离．
（3）由平抛运动的规律求解小球与圆弧AB的内壁碰撞时的速度大小．
解答：解：（1）设小球滑到D点速度为v，从C滑到D的过程，由机械能守恒定律有：
=1.5mgR，得v=
在D点，由牛顿第二定律有：F-mg=m
，
联立发上两式解得：F=3mg，
所以小球对D段的压力大小F′=F=3mg，方向竖直向下；
（2）小球欲回到D点，与弧面的碰撞必须是垂直弧面的碰撞，即速度方向沿弧AB的半径方向．设碰撞点和O1的连线与水平夹角α，D点和碰撞点连线与水平夹角为β，则有
x=vt，y=
vy=gt，vx=v
tanα=
y=Rsinα，
解得：sinα=
，得α=30°，vy=
，x=
R，
D到O1的距离为：DO1=x-Rcosα=
R；
（3）小球与圆弧AB的内壁碰撞时的速度大小v′=
=2
．
答：
（1）小球刚滑倒D点时，对D段的压力大小为3mg．
（2）CD弧底端D距AB弧圆心O1的距离为
R．
（3）小球与圆弧AB的内壁碰撞时的速度大小是2
．
点评：本题是牛顿运动定律与机械能守恒定律的综合题，要熟悉平抛运动的规律和几何关系得应用．
（2）球欲回到D点，与弧面的碰撞必须是垂直弧面的碰撞，根据平抛运动的规律和几何关系求解D距AB弧圆心O1的距离．
（3）由平抛运动的规律求解小球与圆弧AB的内壁碰撞时的速度大小．
解答：解：（1）设小球滑到D点速度为v，从C滑到D的过程，由机械能守恒定律有：
=1.5mgR，得v=在D点，由牛顿第二定律有：F-mg=m
，联立发上两式解得：F=3mg，
所以小球对D段的压力大小F′=F=3mg，方向竖直向下；
（2）小球欲回到D点，与弧面的碰撞必须是垂直弧面的碰撞，即速度方向沿弧AB的半径方向．设碰撞点和O1的连线与水平夹角α，D点和碰撞点连线与水平夹角为β，则有
x=vt，y=
vy=gt，vx=v
tanα=
y=Rsinα，
解得：sinα=
，得α=30°，vy=，x=R，D到O1的距离为：DO1=x-Rcosα=
R；（3）小球与圆弧AB的内壁碰撞时的速度大小v′=
=2．答：
（1）小球刚滑倒D点时，对D段的压力大小为3mg．
（2）CD弧底端D距AB弧圆心O1的距离为
R．（3）小球与圆弧AB的内壁碰撞时的速度大小是2
．点评：本题是牛顿运动定律与机械能守恒定律的综合题，要熟悉平抛运动的规律和几何关系得应用．
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