Question

如图所示，AB是固定在竖直平面内半径为R的光滑半圆弧，CD是与AB在同一竖直平面内半径为1.5R的四分之一光滑圆弧轨道，其底端D切线水平，且与AB弧圆心O₁等高现将质量为m的小球（可视为质点）从圆弧CD上与圆心O₂等高的C处由静止开始释放，小球落进半圆弧AB并与之内壁碰撞，碰撞点标为P点，碰撞过程中不损失机械能，结果小球刚好能沿原路线回到D点并能沿DC弧返回C．重力加速度g取10m/s²．试求：
（1）小球刚滑到D点时，对D端得压力大小；
（2）O₁P的连线与O₁B的夹角α的大小；
（3）CD弧底端D距AB弧圆心O₁的距离．

Answer 1

分析：（1）由机械能守恒定律和牛顿定律求解．
（2）球欲回到D点，与弧面的碰撞必须是垂直弧面的碰撞，根据平抛运动的规律求解．
（3）根据几何关系求解D距AB弧圆心O₁的距离

解答：解：（1）小球到D点速度为v，由机械能守恒定律有：

1

2

mv2=1.5mgR，
    解得v=

3gR

    由牛顿定律有：F-mg=

mv2

1.5R

，
    解得：F=3mg，
所以F′=F=3mg，方向向下；
   （2）小球欲回到D点，与弧面的碰撞必须是垂直弧面的碰撞，即速度方向沿弧AB的半径方向．设碰撞点和O₁的连线与水平夹角α，根据几何关系得α为30°，D点和碰撞点连线与水平夹角为β，
根据几何关系得β为30°则有
x=vt，y=

1

2

gt2
v_y=gt，v_x=v
tanα=

vy

v

y=Rsinα，
解得：sinα=

1

2

α=30°
   （3）D到O₁的距离为：DO₁=X-Rcosα=

3

2

R；
答：（1）小球刚滑到D点时，对D端得压力大小是3mg；
（2）O₁P的连线与O₁B的夹角α的大小是30°；
（3）CD弧底端D距AB弧圆心O₁的距离是

3

2

R．

点评：本题是牛顿运动定律与机械能守恒定律的综合题，要熟悉平抛运动的规律和几何关系得应用．