题目内容

精英家教网如图所示，AB是固定于竖直平面内的
1
4
圆弧形光滑轨道，末端B处的切线方向水平．一物体（可视为质点）P从圆弧最高点A处由静止释放，滑到B端飞出，落到地面上的C点．测得C点与B点的水平距离OC=L，B点距地面的高度OB=h．现在轨道下方紧贴B端安装一个水平传送带，传送带的右端与B点的距离为
L
2
，当传送带静止时，让物体P从A处由静止释放，物体P沿轨道滑过B点后又在传送带上滑行并从传送带的右端水平飞出，仍然落到地面上的C点．求：
（1）物体P与传送带之间的摩擦因数μ．
（2）若在A处给物体P一个竖直向下的初速度，物体P从传送带的右端水平飞出后，落到地面上的D点，求OD的大小．
（3）若驱动轮转动、带动传送带以速度v匀速运动，再把物体P从A处由静止释放，物体P落到地面上，设着地点与O点的距离为x，求出x与传送带上表面速度v的函数关系．
分析：（1）先研究无传送带的情况：物体从B运动到C，做平抛运动，已知h和L，由平抛运动的规律求得物体在B点的速度vB，再研究有传送带的情况：由平抛运动的规律求出物体离开传送带时的速度v1，根据动能定理求得摩擦因数μ．
（2）根据动能定理研究物体离开传送带时的速度，由平抛运动的知识求得OD．
（3）通过物体P滑到底端的速度与传送带的速度进行比较，判断物体P在传送带上的运动情况，得出物体离开传送带的速度，根据平抛运动的知识求出水平位移．
解答：解：（1）无传送带时，物体从B运动到C，做平抛运动，设物体在B点的速度为vB，
由L=vBt；
h=
1
2
gt2，
解得：vB=L
g
2h

当有传送带时，设物体离开传送带时的速度为v1，由平抛规律：
L
2
=v1t
h=
1
2
gt2
解得：v1=L
g
8h
；
由此可知物体滑上传送带时的初速度为vB，末速度为v1，物体的位移为
L
2
，此过程中只有传送带的摩擦力对物体做功，故根据动能定理有：
-μmg
L
2
=
1
2
m
v
2
1
-
1
2
m
v
2
B

代入vB和v1可解得：
μ=
3L
8h
；
（2）设物体离开传送带时的速度为v2，物体从A滑到离开传送带的过程中，只有重力和传送带的摩擦力对物体做功，由动能定理有：
mgR-μmg
L
2
=
1
2
m
v
2
2
-
1
2
m
v
2
0

又物体从A滑至B的过程中有mgR=
1
2
m
v
2
B

所以有：
1
2
m
v
2
B
-
3L
8h
×mg
L
2
=
1
2
m
v
2
2
-
1
2
m
v
2
0

又vB=L
g
2h

可解得：v2=
gL2
8h
+
v
2
0

物体离开传送带后做平抛运动，由题意根据平抛可知
OD=
L
2
+v2t=
L
2
+
gL2
8h
+
v
2
0
2h
g
=
L
2
+
L2
4
+
2h
v
2
0
g
；
（3）物体由静止从P点开始下滑，到达B点的速度vB=L
g
2h
，当物体滑上传送带全程加速时，物体滑离传送带时的速度v2，根据动能定理有：
加速时摩擦力做正功，故有：μmg
L
2
=
1
2
m
v
2
2
-
1
2
m
v
2
B

代入数值可得：v2=
gL2
2h
+
3gL2
8h

所以当传送带的速度v＞
gL2
2h
+
3gL2
8h
，物体离开传送带的速度v＞
gL2
2h
+
3gL2
8h
，由题意根据平抛运动知识可知：x=
L
2
+v2t=
L
2
+
L2+
3
4
L2
=
L
2
(1+
7
)
同理有当物体由静止从P点开始下滑，达到B点的速度vB=L
g
2h
，当物体滑上传送带并在全程在摩擦力作用下做减速运动时，物体滑离传送带的时的速度为v1，根据动能定理有：
减速时摩擦力做负功，故有：-μmg
L
2
=
1
2
m
v
2
1
-
1
2
m
v
2
B

代入相应数值可解得：v1=
gL2
8h

所以当传送带速度小于v＜
gL2
8h
时，物体滑离传送带时的速度v1=
gL2
8h

所以可知；x=
L
2
+v1t=
L
2
+
gL2
8h
2h
g
=L
当传送带的速度满足：v1≤v≤v2时，物体在摩擦力作用下离开传送带时的速度大小都为v，
故此时x=
L
2
+v
2h
g

答：（1）物体P与传送带之间的摩擦因数μ=
3L
8h
；
（2）若在A处给物体P一个竖直向下的初速度，物体P从传送带的右端水平飞出后，落到地面上的D点，求OD的大小为
L
2
+
L2
4
+
2h
v
2
0
g
．
（3）若驱动轮转动、带动传送带以速度v匀速运动，再把物体P从A处由静止释放，物体P落到地面上，设着地点与O点的距离为x，求出x与传送带上表面速度v的函数关系为：
x=L              v＜
gL2
8h
     
x=
L
2
+v
2h
g
     
gL2
8h
≤v≤
7gL2
8h

x=
L
2
(1+
7
)      v＞
7gL2
8h
点评：本题是机械能守恒、平抛运动，动能定理的综合应用，要具有分析物体运动过程的能力，能分情况全面分析物体的运动情况，要抓住平抛运动的时间由高度决定这一知识点．本题较难，易犯考虑不全面的错误．
练习册系列答案
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如图所示，AB是固定在竖直平面内半径为R的光滑半圆弧，CD是与AB在同一竖直平面内半径为1.5R的四分之一光滑圆弧轨道，其底端D切线水平，且与AB弧圆心O1等高．现将质量为m的小球（可视为质点）从圆弧CD上与圆心O2等高的C处由静止开始释放，小球落进半圆弧AB并与之内壁碰撞，碰撞过程中不损失机械能，结果小球刚好能回到D点并能沿DC弧返回C处．g=10m/s2．求：
（1）小球刚滑到D点时，对D段的压力大小
（2）CD弧底端D距AB弧圆心O1的距离
（3）小球与圆弧AB的内壁碰撞时的速度大小．
如图所示，AB是固定在竖直平面内半径为R的光滑半圆弧，CD是与AB在同一竖直平面内半径为1.5R的四分之一光滑圆弧轨道，其底端D切线水平，且与AB弧圆心O1等高现将质量为m的小球（可视为质点）从圆弧CD上与圆心O2等高的C处由静止开始释放，小球落进半圆弧AB并与之内壁碰撞，碰撞点标为P点，碰撞过程中不损失机械能，结果小球刚好能沿原路线回到D点并能沿DC弧返回C．重力加速度g取10m/s2．试求：
（1）小球刚滑到D点时，对D端得压力大小；
（2）O1P的连线与O1B的夹角α的大小；
（3）CD弧底端D距AB弧圆心O1的距离．

（15分）如图所示，AB是固定在竖直平面内半径为R的光滑半圆弧，CD是与AB在同一竖直平面内半径为1.5R的四分之一光滑圆弧轨道，其底端D切线水平，且与AB弧圆心O1等高现将质量为m的小球（可视为质点）从圆弧CD上与圆心O2等高的C处由静止开始释放，小球落进半圆弧AB并与之内壁碰撞，碰撞点标为P点，碰撞过程中不损失机械能，结果小球刚好能沿原路线回到D点并能沿DC弧返回C。重力加速度g取10m/s2。试求：

   

（1）小球刚滑到D点时，对D端得压力大小；

（2）O1P的连线与O1B的夹角α的大小；

（3）CD弧底端D距AB弧圆心O1的距离。
如图所示，AB是固定在竖直平面内半径为R的光滑半圆弧，CD是与AB在同一竖直平面内半径为1.5R的四分之一光滑圆弧轨道，其底端D切线水平，且与AB弧圆心O1等高。现将质量为m的小球（可视为质点）从圆弧CD上与圆心O2等高的C处由静止开始释放，小球落进半圆弧AB并与之内壁碰撞，碰撞过程中不损失机械能，结果小球刚好能回到D点并能沿DC弧返回C 。重力加速度g取10m/s2。试求：
（1）小球刚滑到D点时，对D端的压力大小；
（2）CD弧底端D距AB弧圆心O1的距离；
（3）小球与AB的弧面碰撞时的速度大小。

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