Question

11．如图所示，半径为R的四分之一圆轨道OA与水平桌面AB相切，圆轨道光滑绝缘．一质量为m、电荷量+q的滑块从距水平桌面高为$\frac{R}{2}$处的圆弧面上静止滑下，最后停在C点．在绝缘桌面MN间存在垂直于水平面的匀强电场．已知滑块经过AM，NC时间相同，AM=MN=3NC=3x₀，重力加速度为g，滑块与桌面间摩擦因数为μ．试求：
（1）滑块刚滑到圆弧末端A点时对轨道压力．
（2）判断在MN中物体的运动情况，并求出匀强电场电场强度及电场方向．
（3）若仅改变电场区域MN与圆轨道间的距离，并要求求滑块能穿过电场区域，求滑块在桌面滑行的最短时间．

Answer 1

分析 （1）与OA过程，根据机械能守恒定律求出滑块运动到A点的速度；在A点，由合外力提供滑块所需要的向心力，根据牛顿第二定律求出B点的支持力大小，从而得到滑块轨道的压力．
（2）由牛顿第二定律求出滑块在水平面上的加速度，然后结合运动学的公式求出滑块在M点和N点的速度，判断出滑块在MN之间的运动的性质，结合受力关系判断出电场力的方向并求出电场力的大小；
（3）要使运动的时间最短，则滑块在电场中运动的时间最短，即要让滑块在电场中的速度最大，当A、M两点重合即可；再分别求出滑块在电场中以及电场外运动的时间，求和即可．

解答 解：A、滑块从O到A的运动过程中，只有重力做功，机械能守恒，选AC所在水平面为参考平面，则：mg$•\frac{1}{2}$R=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
则得，滑块运动到A点时的速度为：v₀=$\sqrt{gR}$
滑块在A点时，根据牛顿第二定律，有：N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
解得：N₀=2mg，由牛顿第三定律知，滑块在A点时对轨道的压力为2mg，方向竖直向下．
（2）滑块在AM、NC之间运动时，水平方向只受到摩擦力的作用，则加速度的大小：
a=$\frac{μmg}{m}=μg$
设滑块在M点的速度为v_M，在N点的速度为v_N，则：
${v}_{0}^{2}-{v}_{M}^{2}=2a•3{x}_{0}$
${v}_{N}^{2}-0=2a{x}_{0}$
又：$\frac{{v}_{0}-{v}_{M}}{a}=\frac{{v}_{N}-0}{a}$
联立可得：${v}_{N}={v}_{M}=\frac{{v}_{0}}{2}$
可知滑块在MN之间做匀速直线运动，故有：qE=mg
得：E=$\frac{mg}{q}$，方向垂直于水平面向上
（3）不改变电场的大小与方向，则滑块仍然在电场中做匀速直线运动，所以滑块在电场外做匀减速直线运动的时间不变．要使运动的时间最短，则滑块在电场中运动的时间最短，即要让滑块在电场中的速度最大，当A、M两点重合即可．此时减速运动的时间：
${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{a}=\frac{\sqrt{gR}}{μg}$
滑块在电场中运动的时间：${t}_{2}=\frac{3{x}_{0}}{{v}_{0}}=\frac{3{x}_{0}}{\sqrt{gR}}$
总时间：t=t₁+t₂=$\frac{\sqrt{gR}}{μg}+\frac{3{x}_{0}}{\sqrt{gR}}$
答：（1）滑块刚滑到圆弧末端A点时对轨道压力是2mg．
（2）判断在MN中物体的运动情况，匀强电场电场强度是$\frac{mg}{q}$，方向垂直于水平面向上；
（3）若仅改变电场区域MN与圆轨道间的距离，并要求求滑块能穿过电场区域，滑块在桌面滑行的最短时间是$\frac{\sqrt{gR}}{μg}+\frac{3{x}_{0}}{\sqrt{gR}}$．

点评 本题考查了机械能守恒定律、动能定理和牛顿运动定律的综合运用，要知道滑块做圆周运动时靠径向的合力提供向心力，通过牛顿第二定律求解支持力的大小．