Question

2．如图，ABC为固定在竖直平面内的轨道，AB为光滑的四分之一圆弧，与粗糙水平面BC相切．将质量m=0.5kg的滑块从A点静止释放，滑块与水平面间的动摩擦因数μ₁=0.1，滑块从B点滑行L=18m后到达C点时速度v₁=8m/s．现将BC间的一段MN用铁刷划擦，使该段的动摩擦因数变为μ₂=0.5，再使滑块从A点静止释放，到达C点的速度为v₂=4$\sqrt{2}$m/s，g取10m/s²．
（1）求圆弧的半径R；
（2）求MN段的长度x；
（3）若BC间用铁刷划擦的MN段的长度不变，铁刷划擦的MN段的位置可设定，求滑块从B运动到C的最短时间是多少．

Answer 1

分析 （1）滑块第一次从B到C，由动能定理可求得滑块经过B点的速度．对滑块由A到B，由动能定理列式，可求得圆弧的半径R．
（2）滑块第二次从B到C，由动能定理列式，可求得MN段的长度x．
（3）作出v-t图象如图，分析知道当N点与C点重合时，滑块的运动时间最短．由运动学速度位移公式研究MN段，得到此过程滑块到M点的速度．再速度时间公式求滑行的最短时间．

解答 解：（1）滑块第一次从B到C，由动能定理得：
-μ₁mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得滑块经过B点时的速度为：v_B=10m/s
滑块由A到B，由机械能守恒定律得：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入数据解得：R=5m
（2）滑块从第二次从B到C，由动能定理得：
-μ₁mg（L-x）-μ₂mgx=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入数据解得：x=4m 
（3）由第（2）问可知，无论MN在AB中的具体位置如何变化，滑块到C点的速度都不变，作出v-t图象如图，可知当N点与C点重合时，滑块的运动时间最短．
设滑块在BM段和MN段的加速度分别为a₁和a₂，由牛顿第二定律得，f=ma，代入数据，解得：a₁=1m/s²，
同理得：a₂=5m/s²
由运动学公式有：${v}_{2}^{2}-{v}_{M}^{2}$=-2a₂x   
代入数据得：v_M=6$\sqrt{2}$m/s
所以，滑块从B运动到C的最短时间是：t_min=$\frac{{v}_{B}-{v}_{M}}{{a}_{1}}$+$\frac{{v}_{M}-{v}_{2}}{{a}_{2}}$
解得：t_min=2.1s
答：（1）圆弧的半径R是5m；
（2）MN段的长度x是4m；
（3）滑块从B运动到C的最短时间是2.1s．

点评 本题涉及力在空间的效应，运用动能定理是常用的思路，要反复运用动能定理列式解答，列式时要抓住各个过程之间的联系，如速度关系．