Question

19．如图所示，质量m的小物体，从光滑的$\frac{1}{4}$圆弧轨道上与圆心等高处由静止释放，到达底端时进入总长为L的水平传送带，传送带可由一电机驱使顺时针转动．已知物体与传送带间的动摩擦因数为μ，$\frac{1}{4}$圆弧轨道半径为r．求：
（1）求物体刚到达轨道底端时速度v₀及对轨道压力的大小；
（2）若电机不开启，传送带不动，物体能够从传送带右端滑出，则物体到达传送带右端时的速度；
（3）若开启电机，传送带以速率v₂顺时针转动．已知物体在传送带上能加速，且到达传送带右端前速度已达到v₂，则传送一个物体电动机对传送带多做的功为多少？

Answer 1

分析 （1）物体在曲面上运动时，机械能守恒，根据机械能守恒定律求出物体到达曲面底端时的速度大小．由牛顿运动定律求物体对轨道的压力．
（2）对在传送带上的运动过程，运用动能定理，求出物体滑离传送带右端时的速度大小．
（3）根据牛顿第二定律求出物体在传送带上运行的加速度，结合速度时间公式求出运行的时间，从而得出这段过程中传送带的位移，根据能量守恒得出传送一个物体电动机多做的功．

解答 解：（1）物体滑下过程机械能守恒，有：$mgr=\frac{1}{2}mv_0^2$ 得 ${v_0}=\sqrt{2gr}$
根据牛顿第二定律：$N-mg=m\frac{v_0^2}{r}$
可得 N=3mg
根据牛顿第三定律，物体对轨道压力 N′=N=3mg  
（2）从物体开始下落到它到达传送带右端，根据动能定理得
 $mgr-μmgL=\frac{1}{2}mv_1^2$
则 ${v_1}=\sqrt{2g（r-μL）}$
（3）物体先加速后匀速，匀速阶段没有摩擦力，不再对物体做功
加速阶段多做的功为传送带克服摩擦力做的功 W=μmg•s_带
传送带位移 s_带=v₂t
加速时间 $t=\frac{{{v_2}-{v_0}}}{μg}$
解得 $W=m{v_2}（{v_2}-{v_0}）=m{v_2}（{v_2}-\sqrt{2gr}）$
（或用 $W=Q+\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_0^2$，摩擦生热  Q=μmg（s_带-s_物），物体位移s_物=$\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2μg}$求解）
答：
（1）物体刚到达轨道底端时速度v₀为$\sqrt{2gr}$，对轨道压力的大小为3mg．
（2）物体到达传送带右端时的速度为$\sqrt{2g（r-μL）}$．
（3）传送一个物体电动机对传送带多做的功为mv₂（v₂-$\sqrt{2gr}$）．

点评 本题综合考查了机械能守恒定律、动能定理和能量守恒定律，要知道电动机多做的功等于摩擦力对传送带做功的大小．