Question

13．如图所示，两光滑斜面与光滑水平面间夹角均为θ，两斜面末端与水平面平滑对接．可视为质点的物块A、B质量分别为m、βm（β为待定系数），物块A从左边斜面h高处由静止开始沿斜面下滑，与静止于水平轨道的物块B正面相撞，碰后物块A、B立即分开，它们能达到的最大高度均为$\frac{1}{4}$h．两物块经过斜面与水平面连接处及碰撞过程中均没有机械能损失，重力加速度为g．求：

（1）待定系数β；
（2）第一次碰撞刚结束时木块A、B各自的速度；
（3）物块A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论木块A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒即可求出待定系数β；
（2）由于没有机械能的损失，可知在碰撞的过程中动量守恒与机械能守恒，由此即可求出第一次碰撞刚结束时木块A、B各自的速度；
（3）结合机械能守恒与动量守恒即可求出第二次碰撞后的速度，然后由归纳法得出在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度．

解答 解：（1）碰撞过程中均没有机械能损失，由机械能守恒得：$mgh=\frac{mgh}{4}+\frac{βmgh}{4}$
得  β=3
（2）A到达最低点的速度：${v}_{0}=\sqrt{2gh}$
设 A、B 碰撞后的速度分别为 v₁、v₂，设向右为正、向左为负，则
$\frac{1}{2}βm{v_2}^2=\frac{βmgh}{4}$
mv₀=mv₁+βmv₂
联立得：${v_1}=-\sqrt{\frac{1}{2}gh}$，方向向左${v_2}=\sqrt{\frac{1}{2}gh}$，方向向右
（3）规定向右为正方向，设 A、B 第二次碰撞刚结束时的速度分别为 V₁、V₂，则
$\left\{\begin{array}{l}m{v_1}-βm{v_2}=m{V_1}+βm{V_2}\\ mgh=\frac{1}{2}m{V_1}^2+\frac{1}{2}βm{V_2}^2\end{array}\right.$
解得${V_1}=-\sqrt{2gh}，{V_2}=0$（另一组解：V₁=-v₁，V₂=-v₂ 不合题意，舍去）
由此可得：
当 n为奇数时，小球 A、B 在第 n次碰撞刚结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同；
当 n为偶数时，小球 A、B 在第 n次碰撞刚结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同．
答：（1）待定系数β是3；
（2）第一次碰撞刚结束时木块A、B各自的速度是$-\sqrt{\frac{1}{2}gh}$和$\sqrt{\frac{1}{2}gh}$；
（3）物块A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度分别是$-\sqrt{2gh}$和0，论木块A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时：当 n为奇数时，小球 A、B 在第 n次碰撞刚结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同；当 n为偶数时，小球 A、B 在第 n次碰撞刚结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同．

点评 该题的前两问比较简单，分别由动量守恒与能量守恒即可求出，解答的关键是第三问，要注意碰撞后的速度的方向与大小要合理．