Question

19．如图所示，正方形金属线圈处在磁感应强度B=0.4T的匀强磁场区域内，磁场的方向与线圈平面垂直．金属线圈所围的面积S=100cm²，匝数n=100，线圈电阻r=1.0Ω．线圈与电阻R构成闭合回路，电阻的阻值R=3.0Ω，当线圈从图示位置开始绕中心轴OO′按顺时针方向以角速度ω=2rad/s匀速转动时，求：
（1）线圈转动时产生交变电流的瞬时值表达式；
（2）线圈转动半周，通过电阻R的电量q；
（3）线圈转动半周，电阻R产生的热量Q_R．

Answer 1

分析 根据感应电动势的峰值表达式，结合闭合电路欧姆定律求出电流的最大值，从而得出瞬时值表达式．
根据q=$n\frac{△φ}{{R}_{总}}$求出线圈转动半周，通过电阻R的电量．
根据电流的有效值，结合焦耳定律求出产生的热量．

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为：E_m=nBSω
代入数据，得：E=0.8V
根据闭合电路欧姆定律，闭合回路中的感应电流为：${I_m}=\frac{E}{R+r}$
代入数据解得：I_m=0.2 A         
电流的瞬时值表达式为：i=0.2sin2t A
（2）线圈转动半周，通过的电量为：
$q=\bar It=n\frac{△φ}{R+r}$
代入数据得：$q=100×\frac{{2×0.4×200×{{10}^{-4}}}}{3+1}=0.4C$
（3）线圈转动，电路中产生的感应电流有效值为：$I=\frac{I_m}{{\sqrt{2}}}=0.1\sqrt{2}A$
${Q_R}={I^2}Rt$
解得：${Q_R}=\frac{3π}{100}=9.42×{10^{-2}}J$．
答：（1）线圈转动时产生交变电流的瞬时值表达式为 i=0.2sin2t A；
（2）线圈转动半周，通过电阻R的电量q为0.4C；
（3）线圈转动半周，电阻R产生的热量为9.42×10^-2J．

点评 解决本题的关键掌握交变电流的瞬时值表达式、峰值的公式，以及掌握求解电量的经验表达式，即q=$n\frac{△φ}{{R}_{总}}$．