Question

17．如图甲所示，弯折成90°角的两根足够长金属导轨平行放置，形成左右两导轨平面，左导轨平面与水平面成53°角，右导轨平面与水平面成37°角，两导轨相距L=0.2m，电阻不计．质量均为m=0.1kg，电阻均为R=0.1Ω的金属杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，金属杆与导轨间的动摩擦因数均为μ=0.5，整个装置处于磁感应强度大小为B=1.0T，方向平行于左导轨平面且垂直右导轨平面向上的匀强磁场中．t=0时刻开始，ab杆以初速度v₁沿右导轨平面下滑．t=ls时刻开始，对ab杆施加一垂直ab杆且平行右导轨平面向下的力F，使ab开始作匀加速直线运动．cd杆运动的v-t图象如图乙所示（其中第1s、第3s内图线为直线）．若两杆下滑过程均保持与导轨垂直且接触良好，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．

求：（1）在第1秒内cd杆受到的安培力的大小；
（2）ab杆的初速度v₁；
（3）若第2s内力F所做的功为9J，求第2s内cd杆所产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）根据图示图象求出cd棒的加速度，然后应用牛顿第二定律求出安培力大小．
（2）对cd杆受力分析，结合v-t图象求得回路中感应电流大小，感应电流是ab棒运动产生，再由电磁感应定律求得ab的速度．
（3）求出2s末时ab棒的速度，根据运动知识求得ab运动得距离，再由动能定理求解焦耳热．

解答 解：（1）ab杆沿左侧导轨下滑，根据右手定则可知ab杆中感应电流由a到b，则cd杆中电流由d到c，
根据左手定则可知cd杆受到的安培力垂直于右侧导轨向下．
根据v-t图象可知，c d杆在第1s内的加速度：a₁=$\frac{△v}{△t}$=$\frac{4}{1}$=4m/s²，
对cd杆受力分析，根据牛顿第二定律得：mgsin53°-μ（mgcos53°+F_安培）=ma₁，
解得，安培力大小：F_安培=0.2N；
（2）对cd杆：安培力：F_安培=BIL，
回路中电流：I=$\frac{{F}_{安培}}{BL}$=$\frac{0.2}{1.0×0.2}$=1A，
对ab杆：感应电动势：E=I•2R=1×2×0.1=0.2V，
根据法拉第电磁感应定律：E=BLv₁，
解得：ab杆的初速度：v₁=$\frac{E}{BL}$=$\frac{0.2}{1.0×0.2}$=1m/s；
（3）根据v-t图象可知，c d杆在第3s内做匀减速运动，
加速度：a₂=$\frac{△v}{△t}$=$\frac{0-4}{3-2}$=-4m/²，
对cd杆受力分析，根据牛顿第二定律，有：
mgsin53°-μ（mgcos53°+F_安培′）=ma₂，
解得，安培力：F_安培′=1.8N，
安培力：F_安培′=BI′L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{2R}$，
解得，2s时ab杆的速度：v₂=9m/s，
第2s内ab杆做匀加速运动，ab杆的位移：
x₂=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$t=$\frac{1+9}{2}$×1=5m，
对ab杆，根据动能定理，有：
W_F+mgx₂sin37°-μmgx₂cos37°+W_安培=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²，
解得安培力做功：W_安培=-6J，
回路中产生的焦耳热：Q=-W_安培=2Q_cd，
解得，第2s内cd杆所产生的焦耳热：Q_cd=3J；
答：（1）在第1秒内cd杆受到的安培力的大小为0.2N；
（2）ab杆的初速度v₁为1m/s
（3）若第2s内力F所做的功为9J，第2s内cd杆所产生的焦耳热为3J．

点评 本题是电磁感应和图象结合的题目，分析清楚运动过程、合理的利用图象得到关键的加速度，再由牛顿第二定律和运动学公式及动能定理求解即可．