Question

1．一物体分别以相同的初速度v₀冲上倾角为30°和60°的斜面，若斜面足够长，则物体滑回斜面底部的速率均为v，求：
（1）物体上升的最大高度之比；
（2）物体与两斜面间动摩擦因数之比．

Answer 1

分析 对上滑和下滑两个过程，分别根据动能定理求解物体上升的最大高度和动摩擦因数，再得最大高度之比和动摩擦因数之比．

解答 解：设倾角为30°和60°的斜面动摩擦因数分别为μ₁和μ₂，物体上升的最大高度分别为h₁和h₂．
物体上滑过程，根据动能定理得：
-（mgsin30°+μ₁mgcos30°）•$\frac{{h}_{1}}{sin30°}$=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
物体下滑过程，根据动能定理得：
-（mgsin30°-μ₁mgcos30°）•$\frac{{h}_{1}}{sin30°}$=0-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
联立解得：μ₁=$\frac{{v}_{0}^{2}-{v}^{2}}{{v}_{0}^{2}+{v}^{2}}$tan30°，h₁=$\frac{{v}_{0}^{2}+{v}^{2}}{4g}$
同理可得 μ₂=$\frac{{v}_{0}^{2}-{v}^{2}}{{v}_{0}^{2}+{v}^{2}}$tan60°，h₂=$\frac{{v}_{0}^{2}+{v}^{2}}{4g}$
所以最大高度之比为 h₁：h₂=1：1，动摩擦因数之比为μ₁：μ₂=tan30°：tan60°=1：3
答：
（1）物体上升的最大高度之比为1：1；
（2）物体与两斜面间动摩擦因数之比为1：3．

点评 本题时两个过程的问题，运用动能定理解答，也可以运用牛顿第二定律和运动学规律结合进行处理，还要抓住上滑与下滑两个过程的位移大小相等．