Question

10．宇宙飞船以周期为T绕地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示．已知地球的半径为R，引力常量为G，地球自转周期为T₀，太阳光可看作平行光，宇航员在轨道上A点测出的张角为α，则（　　）

• A． 飞船绕地球运动的线速度为$\frac{2πR}{Tsin（\frac{α}{2}）}$
• B． 一天内飞船经历“日全食”的次数为$\frac{{T}_{0}}{T}$
• C． 飞船每次“日全食”过程的时间为$\frac{αT}{π}$
• D． 地球密度为$\frac{3π}{G{T}^{2}}$

Answer 1

分析 宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，由飞船的周期及半径可求出飞船的线速度；同时由万有引力提供向心力的表达式，可列出周期与半径及角度α的关系．当飞船进入地球的影子后出现“日全食”到离开阴影后结束，所以算出在阴影里转动的角度，即可求出发生一次“日全食”的时间；由地球的自转时间与宇宙飞船的转动周期，可求出一天内飞船发生“日全食”的次数．

解答 解：A、飞船绕地球匀速圆周运动，
所以线速度为v=$\frac{2πr}{T}$
又由几何关系知$sin\frac{α}{2}=\frac{R}{r}$
所以 $v=\frac{2πR}{Tsin\frac{α}{2}}$ 故A正确；
B、地球自转一圈时间为To，飞船绕地球一圈时间为T，飞船绕一圈会有一次日全食，所以每过时间T就有一次日全食，得一天内飞船经历“日全食”的次数为$\frac{{T}_{0}^{\;}}{T}$． 故B正确；
C、由几何关系，飞船每次“日全食”过程的时间内飞船转过α角，所需的时间为t=$\frac{π-α}{2π}T$；故C错误；
D、万有引力提供向心力则
所以：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$=$\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}si{n}_{\;}^{3}\frac{α}{2}}$
所以：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}si{n}_{\;}^{3}\frac{α}{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}$=$\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}si{n}_{\;}^{3}\frac{α}{2}}$，故D错误；
故选：AB．

点评 掌握匀速圆周运动中线速度、角速度及半径的关系，同时理解万有引力定律，并利用几何关系得出转动的角度．