Question

20．如图，一半径为R=1m的光滑圆形轨道竖直放置，一倾角为θ=37°的粗糙斜面与圆形轨道相切，斜面上端为平台并与圆形轨道最高点等高，斜面动摩擦因素为μ=0.75，一人在平台上距斜面上端A点水平距离为x处以一定的初速度水平抛出一质量为m=1kg的物体（可看着质点），设抛出点高度为H，要使物体刚好能沿斜面AB相切的初速度由A点切入斜面，则：
（1）写出H、x应满足的关系式？
（2）要使物体能通过圆弧最高点，物体抛出时的高度H应多大？（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）物体做平抛运动时，刚好能沿斜面AB相切的初速度由A点切入斜面，通过A点的速度沿斜面向下，与水平方向夹角为θ=37°．根据分位移、分速度公式结合速度关系求解．
（2）要使物体能通过圆弧最高点，在最高点的速度应大于等于$\sqrt{gR}$，由动能定理求H的条件．

解答 解：（1）物体从抛出到A点做平抛运动，在A点时有 tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2gH}}{{v}_{0}}$
x=v₀t=v₀$\sqrt{\frac{2H}{g}}$
联立解得 H=$\frac{9{x}^{2}}{64}$
（2）设斜面长为L，由几何知识有 L=$\frac{R（1+cos37°）}{sin37°}$=3m
要使物体能通过圆弧最高点，在最高点应满足的条件是：m$\frac{v{′}^{2}}{R}$≥mg
从抛出到圆弧最高点，由动能定理有：
  mgH-μmgcos37°L=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
联立解得 H≥2.3m
答：
（1）H、x应满足的关系式为H=$\frac{9{x}^{2}}{64}$．
（2）要使物体能通过圆弧最高点，物体抛出时的高度H应满足：H≥2.3m．

点评 本题考查了平抛运动、牛顿第二定律和动能定理的基本运用，关键要明确物块在圆周运动最高点的临界情况，运用分解法研究平抛运动，结合动能定理和牛顿第二定律进行研究．