Question

9．如图所示，一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动，圆盘边缘有一质量m=1.0kg的小滑块．当圆盘转动的角速度达到某一数值时，滑块从圆盘边缘滑落，滑块与圆盘间的动摩擦因数μ₁=0.2，经光滑的过渡圆管进入轨道ABC．已知AB段斜面倾角为53°，BC段斜面倾角为37°，滑块与斜面间的动摩擦因数均为μ=0.5，A点离B点所在水平面的高度h=1.2m．滑块在运动过程中始终未脱离轨道，不计在过渡圆管处和B点的机械能损失，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8 
（1）若圆盘半径R=0.5m，当圆盘的角速度多大时，滑块从圆盘上滑落？
（2）若取圆盘所在平面为零势能面，求滑块到达B点时的动能．
（3）从滑块到达B点时起，经0.5s正好通过C点，求BC之间的距离．

Answer 1

分析 （1）滑块做匀速圆周运动，指向圆心的静摩擦力力提供向心力，静摩擦力随着外力的增大而增大，当滑块即将从圆盘上滑落时，静摩擦力达到最大值，根据最大静摩擦力等于向心力列式求解，可以求出滑块即将滑落的临界加速度；
（2）先根据动能定理求解出滑倒最低点时的动能，再根据机械能的表达式求出动能；
（3）对滑块受力分析，分别求出向上滑行和向下滑行的加速度，然后根据运动学公式求解出BC间的距离．

解答 解：（1）滑块在圆盘上做圆周运动时，静摩擦力充当向心力，
根据牛顿第二定律得：μmg=mω²R，代入数据解得：ω=5rad/s；

（2）滑块在A点时的速度：V_A=ωR=5×0.2=1m/s，
从A到B的运动过程由动能定理：
mgh-μmgcos53°•h/sin53°=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv_A²，
代入数据解得：v_B=4m/s，E_kB=8J；
（3）滑块在B点时的速度：v_B=4m/s，
滑块沿BC段向上运动时的加速度大小：a₁=g（sin37°+ucos37°）
代入数据解得：a₁=10m/s²，
位移：s₁=$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{{4}^{2}}{2×10}$=0.8m，时间：t₁=$\frac{{v}_{B}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{10}$=0.4s，
返回时加速度大小：a₂=g（sin37°-ucos37°），
代入数据解得：a₂=2m/s²，BC间的距离：s_BC=s₁-$\frac{1}{2}$a₂（t-t₁）²，代入数据解得：s_BC=0.76m；
答：（1）若圆盘半径R=0.2m，当圆盘的角速度为5rad/s时，滑块从圆盘上滑落．
（2）滑块到达B点时的动能为8J．
（3）从滑块到达B点时起，经0.6s 正好下滑通过C点，BC之间的距离为0.76m．

点评 本题关键把物体的各个运动过程的受力情况和运动情况分析清楚，然后结合动能定理、牛顿第二定律和运动学公式求解．