题目内容
9．
如图所示的直角坐标系中有三块场区，其中第一、四象限内有宽度d未知的匀强电场，其场强大小为E，y轴是其左边界，场强方向沿x轴负向．第二象限有一个场强也为E，方向沿y轴负向的电场区域．第三象限有一个面积未知的矩形交变匀强磁场，磁感应强度为B=8T，每当电荷进入磁场区域后磁场方向不变，待下一次再进入此磁场区域时磁场方向恰好相反．现有一个质量m=2×10-4kg，电荷量为q=+1×10-4C的点电荷，以v0=2m/s的初速度从点P（0，$\sqrt{3}$）沿垂直y轴方向射入第二象限的电场中，接着从点Q（-2，0）进入第三象限，穿过矩形磁场区域后垂直y轴进入第四象限的有界电场中，此后电荷在此空间中周期性运动．若不计电荷的重力，试求：（1）电场强度E的大小；
（2）第一、四象限中有界电场的最小宽度d和第三象限内矩形交变匀强磁场区域的最小面积；
（3）电荷在此空间中运动的最小周期．
分析 （1）带电粒子在偏转电场中做类平抛运动，运用运动的合成和分解，然后针对分运动运用牛顿第二定律结合运动学规律解决即可；
（2）确定d最小的条件为：运动到电场边界时速度恰减为零，带电粒子在有界磁场中做匀速圆周运动，通过作图，利用几何关系分析找出矩形磁场区域的最小面积；
（3）分别求每一过程的时间，加和即可．
解答 解：（1）电荷从P点射出后在第二象限做类平抛运动，设出电场时速度为v，v与x轴负向的夹角为θ，
因过点Q，根据类平抛规律有：Eq=ma，${y_P}=\frac{1}{2}\frac{Eq}{m}t_1^2，\;{x_Q}={v_0}{t_1}，\;tanθ=\frac{{Eq{t_1}}}{{m{v_0}}}，\;vcosθ={v_0}$
解得：θ=60°，t1=1s，v=4m/s，E=4$\sqrt{3}$N/C，
（2）作速度v的延长线，过Q点做其垂线，在其上取一点O1，以O1为心，以O1Q为半径作圆即为粒子的运动轨迹，
如图所示．设轨道半径为R，由洛伦兹力提供向心力：$qvB=m\frac{v^2}{R}$
代入数据得：R=1m，即图中O1Q=1m
在圆中作出与y轴平行的半径O1F，过F点作轨迹圆的切线，交速度为的延长线于C点，交轴于G点，连接CO1交轨迹圆于D点，
如图所示，轨迹圆弧QDF所在矩形区域即为所求的最小面积，
由几何关系知∠QO1D=θ=60°，所以磁场区域的面积：
S=2Rsinθ•（R-Rcosθ），
代入数据得：$S=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{m^2}$
由于洛伦兹力不做功，故电荷以v=4 m/s进入电场中做类上抛运动，欲使电荷能周期性运动，需运动到电场边界H点时速度恰减为零，
故有：$\frac{1}{2}m{v^2}=Eqd$，
代入数据解得：$d=\frac{4}{3}\sqrt{3}m$
（3）电荷进入第三象限后立即进入磁场区域对应的周期最短．其中类平抛运动时间为：t1=1s，
电荷在磁场中转过120°圆心角对应的时间为：${t_2}=\frac{T}{3}=\frac{2πm}{2qB}$，
得：${t_2}=\frac{π}{6}s$
电荷从F到G匀速直线运动的时间满足：xQ-Rsinθ=vt3，
得：${t_3}=\frac{{4-\sqrt{3}}}{8}s$
电荷从G到H的时间满足：$d=\frac{v}{2}{t_4}$，
得：${t_4}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}s$
返回时在QP段的运动，逆向分析就是类平抛运动，时间与类平抛一样仍为t1，
电荷从P到A类上抛运动的时间满足：${v_0}=\frac{Eq}{m}{t_5}$，
得：${t_5}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}s$
所以电荷周期性运动的周期为：t=2（t1+t2+t3+t4+t5），
解得：$t=（3+\frac{π}{3}+\frac{{7\sqrt{3}}}{4}）s$
答：（1）电场强度E的大小为4$\sqrt{3}$N/C；
（2）第一、四象限中有界电场的最小宽度d为$\frac{4}{3}\sqrt{3}m$，第三象限内矩形交变匀强磁场区域的最小面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}{m}^{2}$；
（3）电荷在此空间中运动的最小周期为$（3+\frac{π}{3}+\frac{7\sqrt{3}}{4}）s$．
点评 本题考查：带电粒子在电场中的运动、带电粒子在磁场中的运动；解决第二问的关键是作图，然后分析其中几何关系，从而确定第三象限内矩形交变匀强磁场区域的最小面积，再根据粒子能做周期性运动，确定d最小的条件，即：运动到电场边界时速度恰减为零；第三问根据每一段的运动状态，分别求每段的时间即可，在分析从Q返回P的过程中运用了逆向思维．
| A． | 质点一直处于运动状态 | B． | 质点第3 s内位移是2 m | ||
| C． | 此图象表示了质点运动的轨迹 | D． | 该质点前4 s内位移是2 m |
| A． | 一定做匀变速直线运动，加速度大小可能是2m/s2 | |
| B． | 可能做匀减速直线运动，加速度大小是10m/s2 | |
| C． | 一定做匀变速运动，加速度大小可能是15m/s2 | |
| D． | 可能做匀速圆周运动，向心加速度大小可能是5m/s2 |
真空中某处，在x轴上关于O点对称的A、B两点有等量异种点电荷+Q和-Q，两点电荷形成的电场中分布着C、D、E三点（如图所示），其中OC=OD，BE=BD，则下列判断正确的是（ ）| A． | 比较电场强度的大小有EC＜ED | |
| B． | 比较电势高低有φC＞φD | |
| C． | 将同一正电荷从O点移到D点电场力所做的功大于从O点移到E点电场力所做的功 | |
| D． | 将同一正电荷从O点移到D点电场力所做的功小于从O点移到E点电场力所做的功 |