Question

7．如图所示，一长木板B在水平地面上运动，当速度为5m/s时将一物块A无初速度放到木板B右端，0.5s后物块A与木板B的速度均为1m/s．已知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦，设物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上．取重力加速度g=10m/s²．求：

（1）物块与木板间动摩擦因数μ₁、木板与地面间动摩擦因数μ₂；
（2）从释放物块A开始到物块与木板均停止运动时，木板的总位移大小；
（3）从释放物块A开始到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移大小．

Answer 1

分析 （1）A物块受到向右的滑动摩擦力，木板B受到两个向左的摩擦力，分别根据牛顿第二定律结合运动学公式列式求解动摩擦因数；
（2）从释放物块A开始，到两者速度相同过程中木板做匀减速运动，A在木板给的摩擦力作用下加速，当两者速度相同之后，假设两者相对静止，求解加速度，与木板的最大加速度比较，判断是否会一起运动；再列式求解；
（3）分析清楚两者的运动情况后，求出两者的位移，再求解相对位移．

解答 解：（1）A物块在水平方向上受到向右的滑动摩擦力，故向右做匀加速运动，木板B受到向左的摩擦力，合力向左，做匀减速运动
对物块A：μ₁mg=ma₁
由于A在0.5s内从静止加速到1m/s，故物块的加速度为：${a}_{1}=\frac{1}{0.5}m/{s}^{2}=2m/{s}^{2}$
联立解得：μ₁=0.2
对木板B，有：μ₁mg+μ₂•2mg=ma₂
木板B从5m/s减速到1m/s，所用时间为0.5s，所以加速度为：${a}_{2}=\frac{5-1}{0.5}m/{s}^{2}=8m/{s}^{2}$
联立解得：μ₂=0.3
（2）从释放物块A开始，到两者速度相同时，过程中木板做匀减速运动，位移：${x}_{1}=\frac{5+1}{2}×0.5m=1.5m$
当两者速度相同之后，假设两者相对静止，对整体：$a={μ}_{2}g=3m/{s}^{2}$
对A，A是在木板给的摩擦力作用下加速，而木板给的最大静摩擦力提供的加速度$a'={μ}_{1}g=2m/{s}^{2}$，所以不符合题意，两者速度相同之后会发生相对运动
对木板，加速度${a}_{2}=\frac{2{μ}_{2}mg-{μ}_{1}mg}{m}=4m/{s}^{2}$，方向向左，
从两者速度相同，到木板速度为零，过程中木板做匀减速直线运动，${x}_{2}=\frac{{1}^{2}}{2×4}m=0.125m$
故木板的总位移为：x=x₁+x₂=1.625m
（3）物块从释放到速度到达1m/s，过程中做匀加速直线运动，此过程中木块的位移为：${x}_{3}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×2×0．{5}^{2}m=0.25m$
当两者速度相同时，物块做减速运动，加速度为${a}_{1}={μ}_{1}g=2m/{s}^{2}$，故减速到零过程中的位移为${x}_{4}=\frac{{1}^{2}}{2×2}m=0.25m$
故物块相对地面发生的总位移为x'=x₃+x₄=0.5m
所以两者的相对位移为：△x=x-x'=1.625m-0.5m=1.125m
答：（1）物块与木板间动摩擦因数为0.2、木板与地面间动摩擦因数为0.3；
（2）从释放物块A开始到物块与木板均停止运动时，木板的总位移大小为1.625m；
（3）从释放物块A开始到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移大小为1.125m．

点评 本题是板块问题，关键是先根据受力情况确定加速度情况，然后根据运动学公式列式求解相对运动情况．