Question

2．如图所示，真空中有一半径为尺的圆形匀强磁场区域，圆心为D，磁场的方向垂直纸面向内，磁感强度大小为B，距离0为2R处有一光屏MN，MN垂直于纸面放置，A0过半径垂直于屏，延长线交于屏上C点．一个带负电粒子以初速度v₀沿AC方向进入圆形磁场区域，最后打在屏上D点，DC相距2$\sqrt{3}$R，不计粒子的重力．求：
（1）该粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）粒子从A到D所用时间．

Answer 1

分析 （1）画出粒子运动的轨迹，根据几何关系求出半径公式，再利用洛伦兹力提供向心力，即可求出该粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）利用周期公式以及粒子转过的圆心角，求解粒子在磁场中做圆周运动的时间t₁，再求出粒子做匀速直线运动的时间t₂，将两个时间做和，即可求出粒子从A到D所用时间．

解答 解：（1）粒子从A点进入磁场后的运动轨迹如图所示，在磁场范围内做匀
速圆周运动，从B点离开磁场，之后作匀速直线运动，打到屏上的D点，
由题意可知：DC=2$\sqrt{3}$R，OC=2R
所以有：∠COD=60°，∠AO′O=30°
所以粒子做匀速圆周运动的半径：r=O′A=$\sqrt{3}$R
根据牛顿第二定律可得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
将r代入整理可得粒子的比荷：$\frac{q}{m}$=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{3BR}$
（2）粒子在磁场中运动的周期：T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$=$\frac{2\sqrt{3}πR}{{v}_{0}}$
则粒子在磁场范围内运动的时间：t₁=$\frac{1}{6}$T=$\frac{\sqrt{3}πR}{3{v}_{0}}$
根据勾股定理可得：OD²=OC²+CD²可得OD=4R则BD=3R
粒子离开磁场后做匀速直线运动，从B到D所用的时间：t₂=$\frac{3R}{{v}_{0}}$
所以粒子从A到D所用时间：t=t₁+t₂=$\frac{\sqrt{3}πR}{3{v}_{0}}$+$\frac{3R}{{v}_{0}}$
答：（1）该粒子的比荷$\frac{q}{m}$为$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{3BR}$；
（2）粒子从A到D所用时间为$\frac{\sqrt{3}πR}{3{v}_{0}}$+$\frac{3R}{{v}_{0}}$．

点评 本题是粒子在磁场中匀速圆周运动和场外做匀速直线运动的综合．磁场中圆周运动常用方法是画轨迹，由几何知识求半径．