Question

7．某校开展荡秋千比赛，质量为m的某同学抓住长为L的细绳绕O点摆动，开始时绳与竖直方向成30°角，空气阻力不计，求．
（1）该同学在A点的初速度多大时恰好能运动到C点？
（2）该同学在A点的初速度多大时恰好能通过D点在竖直平面内作圆周运动？

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒即可求出在A点的初速度；
（2）人在通过最高点时，重力恰好通过向心力，由此求出通过D点的速度，然后由机械能守恒即可求出．

解答 解：（1）选择最低点为0势能点，A到C的过程中机械能守恒，得：
$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+mgL（1-cosθ）=mgL$
所以：${v}_{1}=\sqrt{gLcosθ}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gL}{2}}$
（2）在通过最高点时，重力恰好通过向心力，则：mg=$\frac{m{v}_{D}^{2}}{L}$
从A点到达D的过程中：$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}+mgL（1-cosθ）=2mgL+\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
联立得：v₂=$\sqrt{gL（3+2cosθ）}$=$\sqrt{（3+\sqrt{3}）gL}$
答：（1）该同学在A点的初速度为$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gL}{2}}$时恰好能运动到C点；
（2）该同学在A点的初速度为$\sqrt{（3+\sqrt{3}）gL}$时恰好能通过D点在竖直平面内作圆周运动．

点评 该题考查竖直平面内的圆周运动，解答的关键是恰好通过最高点时，重力恰好提供向心力．