Question

6．有一光滑圆管ACB被弯成半径为R圆弧形形状，O为圆弧圆心，现将该圆弧竖直放置且AOC边竖直，圆弧右边与圆心等高处有一个光滑平台，平台上可视为质点的小球与滑块之间有一个被压缩的弹簧，小球与滑块的质量分别为m、M，弹簧解除锁定后将小球和滑块弹开，小球离开平台后从B点进入曲管，且能无碰撞飞入管道，重力加速度为g，求：
（1）平台左端P到管口B点的水平距离x；
（2）小球在运动到最低点C时对轨道压力；
（3）弹簧开始时储存的弹性势能为多少？

Answer 1

分析 （1）小球从P到B做平抛运动，由平抛运动的规律求P到管口B点的水平距离x．
（2）小球从P到C过程中，只有重力做功，机械能守恒，据此列式求出小球达到C点时的速度，再由牛顿运动定律求解小球在运动到最低点C时对轨道压力．
（3）弹簧解锁的过程，系统的动量守恒，机械能也守恒，据两大守恒定律列式求解．

解答 解：（1）小球从P到B做平抛运动，则：
水平方向有：x=v₀t，v_x=v₀；
竖直方向有：Rcos45°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，v_y=gt；
小球能无碰撞飞入管道，说明到达B点时速度沿B点的切线方向，则有
  tan45°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$
解得：v₀=$\sqrt{\sqrt{2}gR}$，x=$\sqrt{2}$R
（2）小球从P到C过程中，只有重力做功，机械能守恒，则
  mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在C点，由牛顿第二定律得
   N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得 N=（3+$\sqrt{2}$）mg
由牛顿第三定律可得，小球对轨道的压力 N′=N=（3+$\sqrt{2}$）mg
（3）弹簧解锁的过程中系统的动量守恒，取向左为正方向，根据动量守恒定律得
  mv₀-Mv=0
由系统的机械能守恒得：
弹簧开始时储存的弹性势能 E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+\frac{1}{2}M{v}^{2}$
解得 E_p=$\frac{\sqrt{2}（M+m）mgR}{2M}$
答：
（1）平台左端P到管口B点的水平距离x是$\sqrt{2}$R；
（2）小球在运动到最低点C时对轨道压力是（3+$\sqrt{2}$）mg；
（3）弹簧开始时储存的弹性势能为$\frac{\sqrt{2}（M+m）mgR}{2M}$．

点评 本题是力学综合题，掌握平抛运动的研究方法：运动的分解法，知道弹簧解锁过程遵守两大守恒定律：动量守恒守恒和机械能守恒定律是解题的关键．