Question

18．嫦娥三号是中国国家航天局嫦娥工程第二阶段的登月探测器．探测器环月运行轨道可视为圆轨道．已知探测器环月运行时可忽略地球及其他天体的引力，轨道半径为r，运动周期为T，引力常量为G．求：
（1）探测器绕月运行的速度的大小；
（2）探测器绕月运行的加速度的大小；
（3）月球的质量．

Answer 1

分析 （1）根据线速度与周期的关系：v=$\frac{2πr}{T}$，可得探测器绕月运行的线速度．
（2）由加速度与周期的关系a=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，可得探测器绕月运行的加速度．
（3）根据万有引力提供向心力列式，可得月球的质量．

解答 解：（1）探测器绕月运行的速度大小为 v=$\frac{2πr}{T}$
（2）探测器绕月运行的加速度的大小为 a=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
（3）设月球质量为M，嫦娥三号探测器的质量为m，探测器运行时月球对它的万有引力提供向心力，
根据万有引力定律和牛顿第二定律有 G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma
解得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
答：
（1）探测器绕月运行的速度的大小为$\frac{2πr}{T}$；
（2）探测器绕月运行的加速度的大小为$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r；
（3）月球质量为$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．

点评 本题要求掌握线速度与周期的关系、向心加速度与周期的关系，知道万有引力提供向心力这个关系，并且能够根据题目的要求选择恰当的向心力的表达式．