Question

18．如图所示，固定斜面的倾角θ=30°，物体A与斜面之间的动摩擦因数为μ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点，用一根不可伸长的轻弹簧通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧绳子与斜面平行，A的质量为2m=4kg，B的质量为m=2kg，初始时物体A到C点的距离为L=1m．现给A、B一初速度v₀=3m/s，使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C点．已知重力加速度为g=10m/s²，不计空气阻力，整个过程中，轻绳始终处于伸直状态，求此过程中：
（1）物体A向下运动刚到C点时的速度大小；
（2）弹簧的最大压缩量；
（3）弹簧中的最大弹性势能．

Answer 1

分析 （1）物体A向下运动到C点的过程中，A的重力势能及AB的动能都减小，转化为B的重力势能和摩擦生热，根据能量守恒定律列式求出物体A向下运动刚到C点时的速度；
（2）从物体A接触弹簧到将弹簧压缩到最短后回到C点的过程中，弹簧的弹力和重力做功都为零，根据动能定理求出弹簧的最大压缩量；
（3）弹簧从压缩最短到恰好能弹到C点的过程中，根据能量守恒定律求解弹簧中的最大弹性势能．

解答 解：（1）物体A沿斜面向下运动时，B向上做运动，两者加速度大小相等，以AB整体为研究对象，根据牛顿第二定律得：
a=$\frac{{m}_{A}gsinθ-μ{m}_{A}gcosθ-{m}_{B}g}{{m}_{A}+{m}_{B}}$
代入解得：a=-2.5m/s²．
由v²-${v}_{0}^{2}$=2aL得：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2aL}$=2m/s
（2）设弹簧的最大压缩量为x．物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C点，整个过程中，弹簧的弹力和重力对A做功均为零．设A的质量为m_A，B的质量为m_B，根据动能定理得：
-μ•m_Agcosθ•2x=0-$\frac{1}{2}$•（m_A+m_B）v²
代入数据解得：x=0.4m
（3）弹簧从压缩最短到恰好能弹到C点的过程中，对系统根据能量关系有：
E_p+m_Bgx=m_Agxsinθ+μ•m_Agcosθ•x
因为m_Bgx=m_Agxsin θ
所以E_p=μ•m_Agcosθ•x=$\frac{\sqrt{3}}{4}×4×10×\frac{\sqrt{3}}{2}×0.4$=6J
答：（1）物体A向下运动刚到C点时的速度大小是2m/s；
（2）弹簧的最大压缩量是0.4m；
（3）弹簧中的最大弹性势能是6J．

点评 本题关键是搞清能量如何转化的，可以先分清在物体运动的过程中涉及几种形式的能量，分析哪些能量增加，哪些能量减小，再判断能量如何转化．