Question

12．已知质量为m的物体与地心的距离为r（变量）时，物体和地球的引力势能可表示为E_P=-$\frac{GMm}{r}$（设物体离地球无限远处时的势能为零），其中G为已知的引力常量，M为已知的地球质量．已知“神州十号”飞船所在的轨道半径为r=R₁，“天宫一号”空间站所在的轨道半径为r=R₂，且 R₂＞R₁．为了完成对接任务，需要启动“神舟十号”飞船的发动机使飞船加速，从而使飞船顺利“追上”空间站，问发动机至少要对飞船做多少功？（已知引力做功与引力势能变化的关系满足W_引=-△E_P，最终结果要求用G、M、m、R₁和R₂表示）

Answer 1

分析 根据万有引力等于向心力求出人造卫星在轨道上的动能，结合题目信息知轨道势能，根据动能定理求出发动机对飞船做功

解答 解：由万有引力定律得：$\frac{GMm}{r^2}=\frac{{m{v^2}}}{r}$，
可得飞船的动能为：${E_K}=\frac{1}{2}m{v^2}=\frac{GMm}{2r}$
即：${E_K}_1=\frac{GMm}{{2{R_1}}}$，${E_K}_2=\frac{GMm}{{2{R_2}}}$
由动能定理有：W+W_引=△E_K=E_K2-E_K1，
又${W_引}=-△{E_P}=\frac{GMm}{R_2}-\frac{GMm}{R_1}$
联立以上关系可得：$W=\frac{GMm}{{2{R_1}}}-\frac{GMm}{{2{R_2}}}$
答：发动机至少要对飞船做功$\frac{GMm}{2{R}_{1}^{\;}}-\frac{GMm}{2{R}_{2}^{\;}}$

点评 对于卫星类型，要根据其运动模型，由万有引力定律提供向心力、圆周运动规律和功能关系求解．