题目内容

13．如图所示，一不可伸长的轻质细绳，绳长为L，一端固定于O点，另一端系一质量为m的小球，小球绕O点在竖直平面内做圆周运动（不计空气阻力）．
（1）若小球通过最高点A时的速度为v，求v的最小值和此时绳对小球拉力F的大小；
（2）若小球恰好通过最高点A且悬点距地面的高度h=2L，小球经过B点或D点时绳突然断开，求两种情况下小球从抛出到落地所用时间之差△t；
（3）若小球运动到最低点C或最高点A时，绳突然断开，两种情况下小球从抛出到落地水平位移大小相等，则O点距离地面高度h与绳长L之间应满足怎样的关系？

分析 （1）小球通过最高点时，绳对小球拉力F和重力的合力提供向心力，当F=0时，速度最小；
（2）若小球恰好通过最高点${v}_{A}=\sqrt{gL}$，根据机械能守恒定律求出BD的速度，再根据运动学基本公式求解时间差；
（3）小球运动到最高点时向心力最小值为mg，根据牛顿第二定律求得小球到达最高点的最小速度，从最高点到最低点，运用机械能守恒列式即可求解．

解答 解：（1）球通过最高点时的速度为v，F+mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
F=$\frac{{mv}^{2}}{L}-mg$
当拉力F为零时，速度v的最小值为$\sqrt{gL}$
（2）若小球恰好通过最高点${v}_{A}=\sqrt{gL}$，由机械能守恒
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+mgL$
解得：${v}_{B}={v}_{D}=\sqrt{3gL}$
从B点、D点小球分别竖直上抛和竖直下抛，则
△t=$\frac{2{v}_{B}}{g}=\frac{2{v}_{D}}{g}$=$\frac{2\sqrt{3gL}}{g}$         
（3）小球运动到最高点A绳断开后平抛运动，则
$h+L=\frac{1}{2}g{{t}_{A}}^{2}$   
xA=vAtA
小球运动到最低点C绳断开后平抛运动，则
$h-L=\frac{1}{2}g{{t}_{C}}^{2}$
xC=vCtC   
从A到C由机械能守恒定律得
$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+2mgL$
又xA=xC
联立上述各式解得${{v}_{A}}^{2}=2g（h-L）$
小球圆周运动到最高点A时${v}_{A}≥\sqrt{gL}$
得h≥$\frac{3}{2}$L                       
答：（1）v的最小值为$\sqrt{gL}$，此时绳对小球拉力F的大小为零；
（2）两种情况下小球从抛出到落地所用时间之差△t为$\frac{2\sqrt{3gL}}{g}$；
（3）O点距离地面高度h与绳长L之间应满足的关系为h≥$\frac{3}{2}$L．

点评 本题是圆周运动与平抛运动的综合，运用牛顿运动定律和机械能守恒结合进行研究，对于平抛运动，也可以运用分解的方法求小球落地速度．

练习册系列答案
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