Question

11．如图所示，在悬点O处用长为L的细绳拉着质量为m的小球，在半径为R的光滑半球面上静止．已知悬点离半球面的竖直高度为h，试求
①半球对小球的支持力和细绳对小球的拉力；
②小球向上运动过程中支持力及拉力的变化情况．

Answer 1

分析 以小球为研究对象，分析受力情况，作出力图，根据平衡条件运用三角相似法得出重力与L、R的关系，即可求解．

解答 解：①对小球进行受力分析，小球受重力、半球面对小球的弹力和绳对小球的拉力，小球受力平衡，即小球受重力、支持力和绳拉力的合力为0．如图，作出小球的受力示意图．
因为小球所受合力为零，故半球对小球的弹力N和绳对小球A的拉力T的合力与重力mg大小相等，方向相反，根据三角形相似得：
$\frac{N}{R}=\frac{mg}{h+R}=\frac{T}{L}$
解得：N=$\frac{mgR}{R+h}$，T=$\frac{mgL}{R+h}$，
②小球向上运动过程中，L变短，h和R不变，根据N=$\frac{mgR}{R+h}$，T=$\frac{mgL}{R+h}$，可知N不变，T变小．
答：①半球对小球的支持力为$\frac{mgR}{R+h}$，细绳对小球的拉力为$\frac{mgL}{R+h}$；
②小球向上运动过程中支持力不变，拉力变小．

点评 本题运用三角形相似法，得到力与边长的关系，是处理非直角三角形平衡问题常用的方法．