Question

19．游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来（如图甲）．我们把这种情形抽象为图乙的模型：弧形轨道的下端与半径为R的竖直圆轨道相接，质量为m的小球从圆弧轨道上端高h处静止滚下，进入圆轨道下端后沿圆轨道运动．忽略摩擦和空气阻力．求：
（1）小球在最高点A时的速度至少是多少？
（2）小球从h=3R处静止滚下，它通过最高点A时对轨道的压力为多大？
（3）小球从多高的地方释放才可以让小球不脱离轨道？

Answer 1

分析 （1）对小车在最高点A应用牛顿第二定律求解；
（2）对小球从静止到最高点A的运动过程应用动能定理求得在A的速度，然后由牛顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力；
（3）根据小球不脱离轨道得到运动状态，然后由动能定理求解．

解答 解：（1）对小车在最高点A应用牛顿第二定律可得：$mg≤\frac{mv_A^2}{R}$，所以，${v_A}≥\sqrt{gR}$，即小球在最高点A时的速度至少是$\sqrt{gR}$；
（2）对小球从静止到最高点A的运动过程应用动能定理可得：$mg（h-2R）=\frac{1}{2}mv_A^2$；
对小球在最高点A应用牛顿第二定律可得：$N+mg=\frac{mv_A^2}{R}=mg$，所以，N=mg；
那么，由牛顿第三定律可得：小球通过最高点A时对轨道的压力为mg；
（3）不脱离轨道有以下两种情况：
情况一：小球能够通过最高点A，那么如（1）对小球在最高点A应用牛顿第二定律可得：${v_A}≥\sqrt{gR}$，
对小球从起点到最高点A运用动能定理：$mg（{h_1}-2R）=\frac{1}{2}m{{v}_{A}^2}-0$$≥\frac{1}{2}mgR$，所以，h₁≥2.5R；
情况二：小球在圆心等高以下位置来回摆动，那么由动能定理可得：mgh-mgH=0 得h=H≤R；
综上可知：h≥2.5R或h≤R时，小车不会脱离轨道；
答：（1）小球在最高点A时的速度至少是$\sqrt{gR}$；
（2）小球从h=3R处静止滚下，它通过最高点A时对轨道的压力为mg；
（3）小球从h≥2.5R或h≤R高的地方释放才可以让小球不脱离轨道．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．