Question

9．如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，其宽度L=1m，一匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M与P之间连接一阻值为R=0.4Ω的电阻．质量为m=0.01kg、电阻为r=0.3Ω的金属棒ab紧贴在导轨上．现使金属棒ab由静止开始下滑，下滑过程中ab始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离x与时间t的关系如图乙所示，图象中的OA段为曲线，AB段为直线，导轨电阻不计，在金属棒ab运动的过程中，前3s内通过电阻R的电荷量与第4s内通过电阻R的电荷量之比为6：7．g取10m/s²（忽略ab棒运动过程中对原磁场的影响）．
（1）坐标X₂的数值；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）在金属棒ab从开始运动的前3s内，电阻R上产生的热量．（该小题答案保留2位小数）

Answer 1

分析 （1）根据电荷量计算公式可得前3秒和第4秒内感应电荷量的表达式，然后求比值即可得到X₂的数值；
（2）根据平衡条件结合安培力的计算公式以及图象斜率表示的物理意义解答；
（3）根据动能定理求解克服安培力做的功，再根据功能关系和焦耳定律求解电阻R上产生的热量．

解答 解：（1）根据电荷量计算公式可得感应电荷量：q=$\overline{I}$△t=$\frac{n△Φ}{△tR}$△t=$\frac{n△Φ}{R}$
前3秒：q₁=$n\frac{BL{X}_{1}}{{R}_{总}}$，
第4秒内：q₂=n$\frac{BL（{X}_{2}-{X}_{1}）}{{R}_{总}}$，
所以$\frac{{q}_{1}}{{q}_{2}}=\frac{{X}_{1}}{{X}_{2}-{X}_{1}}=\frac{6}{7}$
解得：X₂=13；
（2）当金属棒匀速下落时，由平衡条件得：mg=BIL…①
金属棒产生的感应电动势为：E=BLv_t…②
则电路中的电流为：I=$\frac{BL{v}_{t}}{R+r}$…③
由图象可得：v_t=$\frac{△v}{△t}$=$\frac{11.2-7.0}{2.1-1.5}$m/s=7 m/s
代入数据解得：B=0.1 T
（3）在0～1.5 s，以金属棒ab为研究对象，根据动能定理得：
mgh-W_安=$\frac{1}{2}$mv²-0…④
则得：W_安=0.455 J
即整个回路产生的总热量为：Q=W_安=0.355 J
对闭合回路由闭合电路欧姆定律得：
E_电=I（R+r）…⑤
则电阻R两端的电压U_R为：
U_R=$\frac{R}{R+r}$E_电…⑥
则电阻R上产生的热量为：Q_R=$\frac{R}{R+r}$W_安≈0.21J．
答：（1）坐标X₂的数值为13；
（2）磁感应强度B的大小为0.1T；
（3）在金属棒ab从开始运动的前3s内，电阻R上产生的热量为0.21J．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．