Question

11．如图所示，半径为R的四分之一圆弧形光滑轨道竖直放置，圆弧最低点B 与长为L的水平桌面相切于B点，BC离地面高为h，可视为质点的质量为m的滑块从圆 弧顶点D由静止释放，已知滑块与水平桌面间的动摩擦因数μ，重力加速度为g，求：
（1）小滑块刚到达圆弧面的B点时对圆弧的压力大小？
（2）为使物块能够落到水平地面，摩擦因数应满足什么条件？
（3）在满足物块能够落地的情况下，落地点与C点的水平距离为多少？

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒求得在B处的速度，然后由牛顿第二定律求得在B处受到的支持力，即可由牛顿第三定律求得压力；
（2）根据物体在C点的速度不为零，对BC运动过程应用动能定理即可求解；
（3）根据动能定理求得在C点的速度，然后根据平抛运动的位移公式即可求得水平距离．

解答 解：（1）滑块由D到B的过程中只有重力做功，故机械能守恒，所以有，$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$；
那么，对小滑块在B点应用牛顿第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$，所以，${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}=3mg$；
故由牛顿第三定律可得：小滑块刚到达圆弧面的B点时对圆弧的压力大小为3mg；
（2）为使物块能够落到水平地面，那么物体在C点的速度不为零，故E_kC＞0；
物体从B到C运动过程中只有摩擦力作用，所以，对物体从B到C过程应用动能定理可得：$μmgL＜\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=mgR$，所以，$μ＜\frac{R}{L}$；
（3）物块能够落地的情况下，即v_C＞0，那么，对物体从B到C过程应用动能定理可得：$μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，所以，${v}_{C}=\sqrt{\frac{2（mgR-μmgL）}{m}}=\sqrt{2g（R-μL）}$；
物块从C点飞出后，做平抛运动；故由位移公式可得：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，$x={v}_{C}t={v}_{C}•\sqrt{\frac{2h}{g}}=2\sqrt{h（R-μL）}$；
答：（1）小滑块刚到达圆弧面的B点时对圆弧的压力为3mg；
（2）为使物块能够落到水平地面，摩擦因数$μ＜\frac{R}{L}$；
（3）在满足物块能够落地的情况下，落地点与C点的水平距离为$2\sqrt{h（R-μL）}$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．