Question

7．如图所示，半径分别为a、b的两同心虚线圆所围区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，在小圆内沿径向存在电场，电场方向指向圆心O，小圆周与金属球间的电势差为U．在O处固定一个半径很小（可忽略不计）的金属球，设有一个带负电的粒子从金属球表面沿x轴正方向以很小的初速度逸出，粒子质量为m，电荷量为q．不计粒子的重力，忽略粒子逸出的初速度，求：
（1）粒子到达小圆周上时的速度为多大？
（2）粒子以（1）中的速度进入两圆间的磁场中，当磁感应强度超过某一临界值时，粒子将不能到达大圆周，求此临界值．
（3）若磁感应强度取（2）中的临界值，且b=（$\sqrt{2}$+1）a，要使粒子恰好第一次沿逸出方向的反方向回到原出发点，粒子需经过多少次回旋？并求粒子在磁场中运动的时间．（设粒子与金属球正碰后电量不变，且能以原速率原路返回）

Answer 1

分析 （1）根据动能定理，通过末动能求出加速电压的大小．
（2）根据洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律求出粒子在磁场中运动的轨道半径的表达式，要使粒子不能到达大圆周，其最大的圆半径为轨迹圆与大圆周相切．
（3）根据题目给定的条件，画出带电粒子运动的轨迹，从而确定粒子在磁场中转过φ=270°，然后沿半径进入电场减速到达金属球表面，再经电场加速原路返回磁场，如此重复，恰好经过4个回旋后，沿与原出射方向相反的方向回到原出发点．

解答 解：（1）粒子在电场中加速，根据动能定理得：$qU=\frac{1}{2}m{v^2}$，所以$v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）粒子进入磁场后，受洛伦兹力做匀速圆周运动$qvB=m\frac{v^2}{r}$，要使粒子不能到达大圆周，其最大的圆半径为轨迹圆与大圆周相切，如图．从而有$\sqrt{{a^2}+{r^2}}=b-r$，所以$r=\frac{{{b^2}-{a^2}}}{2b}$，故$B=\frac{2b}{{{b^2}-{a^2}}}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$．

（3）由图可知$tanθ=\frac{r}{a}=\frac{{{b^2}-{a^2}}}{2ab}=1$，所以θ=45°．粒子在磁场中转270°，然后沿半径进入电场减速到达金属球表面，再经电场加速原路返回磁场，如此重复，恰好经过4个回旋后，沿与原出射方向相反的方向回到原出发点．
因为$T=\frac{2πm}{qB}$，所以粒子在磁场中运动时间$t=4×\frac{3}{4}T=\frac{{3π（{b^2}-{a^2}）}}{b}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$．
答：（1）粒子到达小圆周上时的速度为$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）粒子以（1）中的速度进入两圆间的磁场中，当磁感应强度超过某一临界值时，粒子将不能到达大圆周，此临界值为$\frac{2b}{{{b^2}-{a^2}}}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
（3）要粒子恰好第一次沿逸出方向的反方向回到原出发点，粒子需经过4次回旋；粒子在磁场中运动的时间为$\frac{{3π（{b^2}-{a^2}）}}{b}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$．

点评 本题粒子在有圆形边界的磁场做匀速圆周运动的问题，画出轨迹，根据几何知识分析临界条件，求半径和圆心角是常用的思路．