Question

8．直角三角形0MN，∠N=30°，0M=L．在三角形区域内（含边界）有垂直于xOy平面向里的匀强磁场．在t=0时刻，同时从角形的0M边各处以沿y轴正向的相同速度，将质量均为m，电荷量均为q的大量带正电粒子射入磁场，已知在t=t₀时刻从0N边某处射出磁场的粒子，其射出时速度方向与射入磁场时的速度方向间的夹角为60°．不计粒子重力、空气阻力及粒子间相互作用．
（1）求磁场的磁感应强度B的大小；
（2）若从0M边两个不同位置射入磁场的粒子，从0N边上的同一点P（图中未标出）射出磁场，这两个粒子经过P点的时间间隔与P点位置有关．若该时间间隔最大值为2t₀，求两个粒子进入磁场时的位置之间的距离．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据题意求出粒子在磁场中转过的圆心角，然后根据粒子的运动时间与粒子做圆周运动的周期公式求出磁感应强度．
（2）作出粒子运动轨迹，根据题意应用几何知识求出粒子轨道半径，然后求出两粒子进入磁场时位置间的距离．

解答 解：（1）射出时速度方向与射入磁场时的速度方向间的夹角为60°，则粒子在t₀时间内，速度方向改变了60°，
粒子在磁场中转过的圆心角为60°，粒子的运动时间：t=t₀=$\frac{60°}{360°}$T=$\frac{1}{6}$T，粒子做圆周运动的周期：T=6t₀，
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，则：B=$\frac{πm}{3q{t}_{0}}$；
（2）在同一点射出磁场的两粒子轨迹如图所示，轨迹所对应的圆心角分别为θ₁和θ₂，由几何关系有：θ₁=180°-θ₂，
由圆周运动知识可知，两粒子在磁场中运动的时间差△t与△θ=θ₂-θ₁成正比，△θ=θ₂-θ₁=180°-2θ₁，
粒子运动的时间差：△t=$\frac{△θ}{360°}$T，则θ₁越小，△θ越大，时间差△t越大，
由题时间间隔最大值为：△t_max=2t₀，已知：T=6t₀ ，θ₁的最小值为：θ_1min=30°，θ₂的最大值：θ_2max=150°，
在磁场中运动时间最长的粒子轨迹如图，由几何关系有：α=180°-θ_2max=30°，
已知：∠N=30°，则∠M=60°，β=90°-∠M=30°，α=θ_1min=30°，
由几何知识得：Rcosα+$\frac{R}{cosβ}$=L，解得：R=$\frac{2\sqrt{3}L}{7}$，
两粒子射入磁场位置间的距离：d=（L-R-Rcosα）-（R-Rcosθ_1min）=$\frac{7-4\sqrt{3}}{7}$L；
答：（1）磁场的磁感应强度B的大小为$\frac{πm}{3q{t}_{0}}$；
（2）两个粒子进入磁场时的位置之间的距离为$\frac{7-4\sqrt{3}}{7}$L．

点评 对于带电粒子在磁场中运动类型，要能作出粒子的运动轨迹，善于运用几何知识帮助分析和求解，这是轨迹问题的解题关键．