Question

10．如图所示，在y轴右侧有垂直于纸面向外的匀强磁场，y轴左侧有圆形边界的匀强磁场，其圆心为x轴上的P点，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里．两磁场的边界相切于 O点．现一质量为m，带电量为+q的粒子从A点以速度v沿着x轴正方向射入磁场，经过一段时间后射离圆形边界的磁场，其速度方向偏离原来方向的夹角为60°．再经过一段时间，粒子回到A点，且沿着x轴负方向射出．求：
（1）圆形边界磁场的半径；
（2）粒子从A点出发又回到A点的时间．

Answer 1

分析 （1）由题意画出运动轨迹图，并由几何关系来确定两段圆弧的圆心角及各线段长；由切点处作出两圆半径关系，并求解；
（2）写出周期公式，寻找每次旋转后角度变化规律来来计算各段时间，然后求出求总时间；

解答 解：（1）根据题意，带电粒子在磁场中运动的轨迹如图所示

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
 得：R=$\frac{mv}{qB}$
由图圆形磁场的半径：r=Rtan30°=$\frac{\sqrt{3}mv}{3qB}$
（2）粒子在磁场中运动的周期：T=$\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$
由题可知粒子从A到B偏转的角度是60°，所以运动的时间：${t}_{1}=\frac{60°}{360°}•T$=$\frac{1}{6}T$=$\frac{πm}{3qB}$
粒子从B-C做匀速直线运动，运动时间：${t}_{2}=\frac{r-rcos60°}{vcos60°}$=$\frac{m}{3qB}$
粒子从C-D做匀速圆周运动，运动时间：${t}_{3}=\frac{300°}{360°}•T=\frac{5}{6}T=\frac{5πm}{3qB}$
所以粒子从A点出发又回到A点的时间：t=$2{t}_{1}+2{t}_{2}+{t}_{3}=\frac{m}{3qB}（7π+2\sqrt{3}）$
答：（1）圆形边界磁场的半径是$\frac{\sqrt{3}mv}{3qB}$；
（2）粒子从A点出发又回到A点的时间$\frac{m}{3qB}（7π+2\sqrt{3}）$．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动，难度较大，过程复杂，关键在于用运动轨迹图来寻找几何关系，确定长度及角度，将复杂运动形成规律进行简化解决．