Question

18．如图，半径为R的水平半圆轨道固定在光滑的水平桌面上，质量为m小球以某一速度从A点滑上半圆轨道，经半圆轨道从A点到达B点，已知小球在水平面始终受到一平行于BA方向且由B指向A的水平恒力作用．
（1）若小球恰好从B点以速度v₀飞出，求恒力F₁；
（2）若小球从B点飞出后，沿水平桌面运动到C点，小球所受恒力大小为F₂，CA=3R，求小球在B点速度以及在B点小球对轨道的弹力．

Answer 1

分析 （1）小球恰好从B点以速度v₀飞出时，轨道对小球没有作用力，由恒力F₁提供向心力，根据牛顿第二定律求F₁．
（2）小球从B运动到C，做类平抛运动，根据牛顿第二定律求出加速度，由分位移公式求出小球在B点速度，再由牛顿第二定律求在B点时轨道对小球的弹力，从而得到小球对轨道的弹力．

解答 解：（1）小球恰好从B点以速度v₀飞出时由恒力F₁提供向心力，根据牛顿第二定律得：
F₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
（2）小球从B运动到C，做类平抛运动，根据牛顿第二定律得小球运动的加速度为：a=$\frac{{F}_{2}}{m}$
根据运动学公式有：
2R=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
3R=v_Bt
联立解得：v_B=$\frac{3}{2}\sqrt{\frac{{RF}_{2}}{m}}$
在B点，以小球为研究对象，由牛顿第二定律得：
F+F₁=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
联立解得轨道对小球的弹力为：F=$\frac{9}{8}{F}_{2}$-m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
根据牛顿第三定律知，小球对轨道的弹力为：F′=F=$\frac{9}{8}{F}_{2}$-m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
答：（1）若小球恰好从B点以速度v₀飞出，恒力F₁为m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$．
（2）小球在B点速度为$\frac{3}{2}\sqrt{\frac{{RF}_{2}}{m}}$，在B点小球对轨道的弹力为$\frac{9}{8}{F}_{2}$-m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$．

点评 解决本题的关键是抓住题目的情景与重力场中竖直平面圆周运动的相似性，采用类比的方法研究，要明确小球恰好从B点飞出时，轨道对小球的作用力为零．