Question

19．如图所示，在xOy平面的第Ⅱ象限内有半径为R的圆分别与x轴、y轴相切于P、Q两点，圆内存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场．在第Ⅰ象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为E，一带正电的粒子（重力不计）以速度υ₀从P点射入磁场后恰好垂直y轴进入电场，最后从M（$\frac{8R}{3}$，0）点射出电场，出射方向与x轴正方向夹角为α，且满足tanα=$\frac{9}{8}$．
求：（1）带电粒子的比荷；
（2）带电粒子在磁场中运动的时间．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直于电场进入第一象限，粒子做类平抛运动，由到达M的速度方向可利用速度的合成与分解得知该点y方向的速度．结合牛顿第二定律求得粒子的比荷；
（2）根据运动学的公式，求出粒子进入电场时的位置，画出粒子运动的轨迹，根据图象中的几何关系求出粒子运动的半径；粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，利用洛伦兹力提供向心力的公式，求出在磁场中运动的轨迹半径，利用几何关系求偏转角θ，最后求出时间．

解答 解：（1）粒子垂直于电场进入第一象限，粒子做类平抛运动，设粒子沿y轴负方向做匀加速运动的加速度为a，
  qE=ma
设粒子在电场中运动的时间为t，在x轴方向上，粒子做匀速直线运动，有：$\frac{8R}{3}$=v₀t ①
在M处，粒子沿y轴方向的分速度为：v_y=v₀tanα ②
v_y=at      ③
又据题意 tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{9}{8}$  ④
联立①②③④解得：$\frac{q}{m}=\frac{27{v}_{0}^{2}}{64ER}$ 
（2）又：y=$\frac{{v}_{y}}{2}•t$    ⑤
联立得：y=$\frac{3}{2}R$⑥
粒子的运动轨迹如图所示，O₁是磁场圆的圆心，O₂是粒子轨迹圆的圆心．P′是粒子射出磁场的位置，依题意知，粒子垂直y轴进入电场，则P′O∥PO₁，且P′O₁=PO₁=R
所以粒子的轨道半径 r=R    ⑦
由几何知识得：y=R+Rcos（180°-θ）  ⑧
解得，θ=120°
粒子运动的周期：T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$
所以粒子运动的时间：t=$\frac{120°}{360°}•T=\frac{2πR}{3{v}_{0}}$
答：（l）带电粒子的比荷为$\frac{3{v}_{0}^{2}}{4ER}$；
（2）带电粒子在磁场中运动的时间是$\frac{2πR}{3{v}_{0}}$．

点评 粒子在电场中运动偏转时，常用能量的观点来解决问题，有时也要运用运动的合成与分解．粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定也是本题的一个考查重点，要正确画出粒子运动的轨迹图，能熟练运用几何知识解决物理问题．