题目内容
14．如图甲所示，两平行金属板A、B的板长L=0.2m，板间距d=0.2m．两金属板间加如图乙所示的交变电压，并在两板间形成交变的匀强电场，忽略其边缘效应．在金属板上侧有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，其上下宽度D=0.4m，左右范围足够大，边界MN和PQ均与金属板垂直，匀强磁场的磁感应强度B=1×l0-2T．在极板下侧中点O处有一粒子源，从t=0时起不断地沿着OO′发射比荷$\frac{q}{m}$=1×l08C/kg、初速度v0=2×l05m/s的带正电粒子．忽略粒子重力、粒子间相互作用以及粒子在极板间飞行时极板间的电压变化．sin30°=0.5，sin37°=0.6，sin45°=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（1）求粒子进入磁场时的最大速率．
（2）对于在磁场中飞行时间最长的粒子，求出其在磁场中飞行的时间以及在0-4s内由O点出发的可能时刻．
（3）对于所有能从MN边界飞出磁场的粒子，试求这些粒子在MN边界上出射区域的宽度．
分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，恰从金属板边缘飞出时，进入磁场时的速率最大．根据运动学公式和牛顿第二定律结合此时AB两板间的电压，根据动能定理求得粒子进入磁场时的最大速率；
（2）粒子进入磁场后由洛伦兹力提供向心力而做匀速圆周运动．在磁场中飞行时间最长的粒子，其运动轨迹应在电场中向B板偏转，在磁场中恰好与上边界相切，画出轨迹，由牛顿第二定律、平行四边形定则、几何关系及运动学公式结合求解最长的时间．由速度分解和牛顿第二定律求得对应AB两板间的电压，结合UAB-t图象可得即可得到由0点出发的可能时刻；
（3）结合上题的结果，得到对于所有能从MN边界飞出磁场的粒子，射出时都集中在电压U1=+300V时和电压U2=-400V时射出点CG之间的范围内，画出轨迹，由运动学公式、牛顿第二定律、几何知识结合求得这些粒子在MN边界上出射区域的宽度．
解答 解：（1）设粒子恰从金属板边缘飞出时，AB两板间的电压为U0，
由运动学公式：$\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$
根据牛顿第二定律得：qE1=ma1
而E1=$\frac{{U}_{0}}{d}$，$t=\frac{L}{{v}_{0}}$，
联立以上各式，解得，U0=400V＜500V
设粒子进入磁场时的最大速率为vm，由动能定理得：q$•\frac{1}{2}{U}_{0}=\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得，vm=2$\sqrt{2}$×105m/s
（2）分析可知，在磁场中飞行时间最长的粒子，其运动轨迹应在电场中向B板偏转，在磁场中恰好与上边界相切，如图所示，
设粒子进入磁场时，速度v与OO′成θ角，在磁场中运动时间为tm，由牛顿第二定律、平行四边形定则、几何关系及运动学公式得
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
而：v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$，R（1+sinθ）=D，T=$\frac{2πm}{qB}$，tm=$\frac{180°+2θ}{360°}•T$
联立上述各式，解得，θ=37°，tm=$\frac{127π}{9}×1{0}^{-6}s$≈4.43×10-6s
设这些粒子进入磁场时在垂直于金属板方向的速度为vy，对应AB两板间的电压为U1，在电场中运动的时间为t1，由O点出发的可能时间为t，则有
vy=v0tanθ
vy=a2t1
qE2=ma2
E2=$\frac{{U}_{1}}{d}$，
联立解得，U1=300V；
结合UAB-t图象可得，当U1=300V时，在一个周期内对应的时刻为：t0=0.4s或3.6s，因为电压的周期为T=4s，所以粒子在O点出发可能时刻为
t=nT+t0
即 t=（4n+0.4）s或（4n+3.6）s，其中 n=0，1，2，…
（3）对于所有能从MN边界飞出磁场的粒子，射出时都集中在电压U1=+300V时和电压U2=-400V时射出点CG之间的范围内，如图所示．
对于电压U1=+300V射出的粒子，设O′D=y，则由运动学公式和牛顿第二定律得
y=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}$，qE2=ma2，E2=$\frac{{U}_{1}}{d}$，
解得，y=0.075m
由第（2）问，该粒子在磁场中的运动半径为R，射出电场时速度v与OO′成θ角．设在MN边界上的射出点C和射入点D之间的距离为s1，根据牛顿第二定律、平行四边形定则和几何关系得qvB=m $\frac{{v}^{2}}{R}$，
v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$
s1=2Rcosθ
联立解得，s1=0.4m．
同理可知，对于U2=-400V时射出的粒子，GH间的距离为s2为：s2=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$
设在MN边界是粒子出射区域的宽度为L，由几何关系可知：
L=s2+$\frac{1}{2}$d+y-s1
代入解得，L=0.175m．
答：（1）粒子进入磁场时的最大速率是2$\sqrt{2}$×105m/s．
（2）对于在磁场中飞行时间最长的粒子，在磁场中飞行的时间是4.43×10-6s，由0点出发的可能时刻是t=（4n+0.4）s或（4n+3.6）s，其中 n=0，1，2，…．
（3）对于所有能从MN边界飞出磁场的粒子在MN边界上出射区域的宽度是0.175m．
点评 本题考查带电在电磁场中的运动，综合考查了牛顿定律、动能定理、受力分析等方面的知识和规律．对考生的分析综合能力、应用数学知识的能力要求较高．
阅读快车系列答案
质量和电量都相等的带电粒子M和N，以不同的速度率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示，下列表述正确的是（ ）| A． | M带正电，N带负电 | B． | M的速率大于N的速率 | ||
| C． | 洛仑兹力对M、N做正功 | D． | M、N的运行时间相等 |
如图甲所示，MN、PQ为间距L=0.5m足够长的平行导轨，NQ⊥MN，导轨的电阻不计．导轨平面与水平面间的夹角θ=37°，NQ间连接有一个R=4Ω的电阻．有一匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上，磁感应强度为B0=1T．将一根阻值未知质量为m=0.05kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好．现由静止释放金属棒，当金属棒滑行至cd处时达到稳定速度，已知在此过程中通过金属棒截面的电量q=0.2C，且金属棒的加速度a与速度v的关系如图乙所示，设金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行．（取g=10m/s2，sin 37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
如图所示，在y轴左侧放置一加速电场和偏转电场构成的发射装置，C、D两板的中心线处于y=8cm的直线上；右侧圆形匀强磁场的磁感应强度大小为B=$\frac{2}{3}$T、方向垂直xoy平面向里，在x轴上方11cm处放置一个与x轴平行的光屏．已知A、B两板间电压UAB=100V，C、D两板间电压 UCD=300V，偏转电场极板长L=4cm，两板间距离d=6cm，磁场圆心坐标为（6，0）、半径R=3cm．现有带正电的某种粒子从A极板附近由静止开始经电场加速，穿过B板沿C、D两板间中心线y=8cm进入偏转电场，由y轴上某点射出偏转电场，经磁场偏转后打在屏上．带电粒子比荷$\frac{q}{m}$=106c/kg，不计带电粒子的重力．求：
如图所示，在xOy平面的第Ⅱ象限内有半径为R的圆分别与x轴、y轴相切于P、Q两点，圆内存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场．在第Ⅰ象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度为E，一带正电的粒子（重力不计）以速度υ0从P点射入磁场后恰好垂直y轴进入电场，最后从M（$\frac{8R}{3}$，0）点射出电场，出射方向与x轴正方向夹角为α，且满足tanα=$\frac{9}{8}$．
如图所示，abcd是一个正方形的盒子，在cd边的中点有一小孔e，盒子中矗着ad方向的匀强电场，场强为E，一粒子源不断地从a处的小孔沿ab方向向盒内发射相同的带电粒子，粒子的速度为v0，经电场作用后恰好从e处的小孔射出，现撤去电场，在盒子中加一方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，粒子仍恰好从e也射出．求：电场强度E和磁感应强度B的比值．
质量为m的物体在沿斜面向上的拉力F作用下沿放在水平地面上的质量为M的粗糙斜面匀加速下滑，此过程中斜面体保持静止．则地面对斜面（ ）| A． | 无摩擦力作用 | |
| B． | 有水平方向的摩擦力，但无法判定方向 | |
| C． | 支持力大小为（M+m）g | |
| D． | 支持力小于（M+m）g |
| 编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| U/V | 0.20 | 0.60 | 1.00 | 1.40 | 1.80 | 2.20 | 2.60 | 3.00 |
| I/A | 0.020 | 0.060 | 0.100 | 0.140 | 0.170 | 0.190 | 0.200 | 0.205 |
（2）按要求在图2 中的实物图上连线（其中部分线路已经连好）
