Question

3．如图所示，长为L的轻杆一端连着质量为m的小球，另一端用活动铰链固接于水平地面上的O点，初始时小球静止于地面上，边长为L、质量为M的正方体左侧静止于O点处．现在杆中点处施加一大小始终为$\frac{6mg}{π}$（g为重力加速度）、方向始终垂直杆的拉力，经过一段时间后撤去F，小球恰好能到达最高点．忽略一切摩擦，试求：
（1）拉力所做的功；
（2）拉力撤去时小球的速度大小；
（3）若小球运动到最高点后由静止开始向右倾斜，求杆与水平面夹角为θ时（正方体和小球还未脱落），正方体的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理，抓住动能的变化量为零，求出力F做功的大小；
（2）根据F做功的大小求出杆与水平面夹角为α，根据动能定理得出撤去F时小球的速度；
（3）通过杆和正方体速度的关系，对系统运用机械能守恒求出正方体的速度大小．

解答 解：（1）根据动能定理可得：W_F-mgL=0                              
力F所做的功为W_F=mgL                                
（2）设撤去F时，杆与水平面夹角为α，撤去F前，有：
W_F=$\frac{6mg}{π}$×$\frac{L}{2}$α=mgL，
解得：α=$\frac{π}{3}$
根据动能定理有：mgL-mgLsinα=$\frac{1}{2}$mv²                        
得撤去F时小球的速度为：v=$\sqrt{gL（2-\sqrt{3}）}$
（3）设杆与水平面夹角为θ时，杆的速度为v₁，正方体的速度为v₂
v₂=v₁sinθ                                              
系统机械能守恒有：
mg（L-Lsinθ）=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²                 
解得：v₂=$\sqrt{\frac{2mgL（1-sinθ）si{n}^{2}θ}{m+Msi{n}^{2}θ}}$．
答：（1）力F所做的功为mgL；
（2）力F撤去时小球的速度为$\sqrt{gL（2-\sqrt{3}）}$；
（3）正方体的速度大小为$\sqrt{\frac{2mgL（1-sinθ）si{n}^{2}θ}{m+Msi{n}^{2}θ}}$．

点评 本题考查了动能定理、机械能守恒的综合运用，对于第二问，抓住F做功的大小，求出杆与水平面夹角是解题的关键．以及知道杆和正方体组成的系统机械能守恒．