Question

12．进行科学研究有时需要大胆的想象，假设宇宙中存在一离其它恒星较远的，由质量相等的四颗星组成的四星系统（忽略其它星体对它们的引力作用），这四颗星恰好位于正方形的四个顶点上，并沿外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动，若该系统中的星体的周期为原来的2倍，则正方形的边长和原来的边长的比值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\root{3}{2}$
• C． 2
• D． $\root{3}{4}$

Answer 1

分析 在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力，根据合力提供向心力，求出正方形的边长和原来的边长的比值

解答 解：设原来正方形的边长为${l}_{1}^{\;}$，角速度为${ω}_{1}^{\;}$，后来正方形的边长变为${l}_{2}^{\;}$，角速度为${ω}_{2}^{\;}$，则有
$2G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{l}_{1}^{2}}cos45°+G\frac{{m}_{\;}^{2}}{（\sqrt{2}{l}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}=m{ω}_{1}^{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}{l}_{1}^{\;}）$①
$2G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{l}_{2}^{2}}cos45°+G\frac{{m}_{\;}^{2}}{（\sqrt{2}{l}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}}=m{ω}_{2}^{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}{l}_{2}^{\;}）$②
周期变为原来2倍，角速度为原来$\frac{1}{2}$，即$\frac{（\;\;\;\;）}{（\;\;\;\;）}\frac{{ω}_{2}^{\;}}{{ω}_{1}^{\;}}=\frac{1}{2}$③
联立解得：$\frac{{l}_{2}^{\;}}{{l}_{1}^{\;}}=\root{3}{4}$，选项D正确，ABC错误
故选：D

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力，以及知道在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力．