Question

17．如图甲所示是利用涡流冶炼金属的真空冶炼炉示意图，给线圈通上高频交变电流，炉内的金属中产生涡流，涡流产生的热量使金属熔化．其简化模型如图乙所示，假设金属环的阻值R=10πΩ，半径r=10cm，其外侧线圈中通以高频交流电，线圈中产生垂直于金属环所在平面的变化磁场，其磁感应强度B随时间变化关系为$\frac{△B}{△t}$=4×10³cos（4×10⁴t）（T/s），求金属环中产生感应电动势的最大值和有效值（不计温度变化对电阻的影响，计算结果可保留π）．

Answer 1

分析 根据法拉第电磁感应定律为E=$\frac{△B}{△t}$求出感应电动势，由有效值与最大值之间的关系公式求出有效值．

解答 解：由于磁感应强度B随时间变化关系为$\frac{△B}{△t}$=4×10³cos（4×10⁴t）（T/s），
所以金属环中的电动势：$e=\frac{△Φ}{△t}=\frac{△BS}{△t}$=4×10³×π×0.1²cos（4×10⁴t）V=40πcos（4×10⁴t）V
金属环中产生的感应电动势最大值是40πV
金属环中产生的感应电动势有效值：$E=\frac{\sqrt{2}{E}_{m}}{2}=20π\sqrt{2}$V
答：金属环中产生感应电动势的最大值是40πV，有效值是$20\sqrt{2}π$V

点评 本题运用法拉第电磁感应定律、欧姆定律和焦耳定律研究高频焊接的原理，抓住B-t的变化率是B对t的导数，即求出磁通量的变化率，得到感应电动势．根据有效值的定义求解有效值．