Question

20．如图所示，在直角坐标系O-xyz中存在磁感应强度为B=$\frac{2m}{q}$$\sqrt{\frac{g}{h}}$，方向竖直向下的匀强磁场，在（0，0，h）处固定一电量为+q（q＞0）的点电荷，在xOy平面内有一质量为m，电量为-q的微粒绕原点O沿图示方向作匀速圆周运动．若该微粒的圆周运动可以等效为环形电流，求此等效环形电流强度I．（重力加速度为g）

Answer 1

分析 对微粒正确受力分析，在竖直方向应用平衡条件、在水平面内应用牛顿第二定律求出微粒做匀速圆周运动的角速度，然后求出微粒做圆周运动的周期，最后根据电流的定义求出等效电流．

解答 解：微粒受力如图所示，电场力：
F_E=k$\frac{{q}^{2}}{{R}^{2}}$，
洛伦兹力：F_B=qvB，
微粒的线速度：v=ωr，
由几何知识得：r=htanθ，R=$\frac{h}{cosθ}$，
微粒在Z轴方向受力平衡：F_Ecosθ-mg=0，
微粒在xoy平面内做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律得：F_Esinθ-F_B=mω²r，
解得：ω²+2$\sqrt{\frac{g}{h}}$ω-$\frac{g}{h}$=0，
解得：ω=（$\sqrt{2}$-1）$\sqrt{\frac{g}{h}}$[ω=-（$\sqrt{2}$+1）$\sqrt{\frac{g}{h}}$不合题意，舍去]，
微粒做圆周运动的周期：T=$\frac{2π}{ω}$，
等效电流：I=$\frac{q}{T}$=$\frac{（\sqrt{2}-1）q}{2π}$$\sqrt{\frac{g}{h}}$；
答：等效环形电流强度I为$\frac{（\sqrt{2}-1）q}{2π}$$\sqrt{\frac{g}{h}}$．

点评 本题考查了带电微粒在电场、磁场与重力场中的运动，微粒在z轴方向受力平衡，在xoy面内做匀速圆周运动，应用平衡条件与牛顿第二定律、电流定义式可以解题．