已知无穷数列{an},Sn是其前n项和,对不小于2的正整数n,满足关系.

(1)求a1，a2，a3；（2）用数学归纳法证明求数列{an}的通项公式.

（3）设计算

( 本小题满分12分)

已知集合中的元素都是正整数，且，对任意的且，有．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）对于，试给出一个满足条件的集合．

设M₁(0，0)，M₂(1，0)，以M₁为圆心，| M₁ M₂ | 为半径作圆交x轴于点M₃ (不同于M₂)，记作⊙M₁；以M₂为圆心，| M₂ M₃ | 为半径作圆交x轴于点M₄ (不同于M₃)，记作⊙M₂；……；以M_n为圆心，| M_n M_n+1 | 为半径作圆交x轴于点M_n+2 (不同于M_n+1)，记作⊙M_n；……当n∈N*时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙M_n交于A_n，B_n．考察下列论断：

当n＝1时，；Ks当n＝2时，；当n＝3时，；

当n＝4时，              ；当n＝5时， ；……，

则推测一个一般的结论：对于n∈N*，                ．

（本小题满分14分）

已知函数（）．

（1）若函数在区间上是单调递增函数，试求实数的取值范围；

（2）当时，求证：（）；

（3）求证：（且）．

（本小题满分10分）

已知构成某系统的元件能正常工作的概率为p(0＜p＜1)，且各个元件能否正常工作是相互独立的．今有2n(n大于1)个元件可按下图所示的两种联结方式分别构成两个系统甲、乙．

（1）试分别求出系统甲、乙能正常工作的概率p₁，p₂；

（2）比较p₁与p₂的大小，并从概率意义上评价两系统的优劣．      

（本小题满分12分）(注意:在试题卷上作答无效)

设数列的前n项和为已知

（Ⅰ）设证明：数列是等比数列；

（Ⅱ）证明：.

（本小题满分14分）已知各项均不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁＝c，

2S_n＝a_n a_n＋1＋r．

  （1）若r＝－6，数列{a_n}能否成为等差数列？若能，求满足的条件；若不能，请说明理由；

  （2）设，，

 若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式恒成立．

（本题满分14分）设曲线在点处的切线与y轴交于点.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，猜测的最大值并证明你的结论.

已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且，如果b＝m（mN*），

则这样的三角形共有   ▲  个（用m表示）．

（本大题18分）

阅读下面所给材料：已知数列{a_n}，a₁=2，a_n=3a_n–1+2，求数列的通项a_n。

解：令a_n=a_n–1=x，则有x=3x+2，所以x= –1，故原递推式a_n=3a_n–1+2可转化为：

a_n+1=3（a_n–1+1），因此数列{a_n+1}是首项为a₁+1，公比为3的等比数列。

根据上述材料所给出提示，解答下列问题：

已知数列{a_n}，a₁=1，a_n=3a_n–1+4，

（1）求数列的通项a_n；并用解析几何中的有关思想方法来解释其原理；

（2）若记S_n=，求S_n;

（3）若数列{b_n}满足：b₁=10，b_n+1=100，利用所学过的知识，把问题转化为可以用阅读材料的提示，求出解数列{b_n}的通项公式b_n。