已知A、B是抛物线y²=2px(p>0)上的两点,且满足OA⊥OB(O为坐标原点).

求证:(1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；(2)直线AB经过一个定点.

设函数，若，，则的值

为      

已知各项均为正数的数列满足，， .

（Ⅰ）求证：数列是等比数列； 

（Ⅱ）当取何值时，取最大值，并求出最大值；

（Ⅲ）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

己知双曲线的中心在原点，右顶点为（1，0），点、Q在双曲线的右支上，点 （，0）到直线的距离为1．

（1）若直线的斜率为且有,求实数的取值范围；

（2）当时，的内心恰好是点，求此双曲线的方程．

已知函数的定义域为。

（1）求证：直线（其中）不是函数图像的切线；

（2）判断在上单调性，并证明；

（3）已知常数满足，求关于的不等式的解集

已知a为实数，函数

   （1）求的值；

   （II）若a>2，求函数的单调区间.

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁、F₂在坐标轴上，离心率为且过点(4，-)

   （1）求双曲线方程；

   （2）若点M(3,m)在双曲线上，求证：点M在以F₁F₂为直径的圆上；

   （3）求△F₁MF₂的面积.

如图1，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是___________.

图1

设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足.”

   （I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

   （II）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意

[m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”，

试用这一性质证明：方程只有一个实数根；

   （III）设是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的.

解不等式