题目内容

已知A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,且满足OA⊥OB(O为坐标原点).

求证:(1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；(2)直线AB经过一个定点.

定点


解析:

(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2),则y12=2px1,y22=2px2,

∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,y12y22=4p2x1x2=4p2·(－y1y2),

∴y1y2=－4p2,从而x1x2=4p2也为定值.

(2)∵y12－y22=2p(x1－x2),∴=,∴直线AB的方程为y－y1= (x－x1),

即y=x－·+y1,  y=x+,  亦即y= (x－2p),

∴直线AB经过定点.

练习册系列答案
相关题目
已知A、B是抛物线y2=4x上的两点，O是抛物线的顶点，OA⊥OB．
（I）求证：直线AB过定点M（4，0）；
（II）设弦AB的中点为P，求点P到直线x-y=0的距离的最小值．
已知A，B是抛物线x2=2py（p＞0）上的两点，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线．
（1）若过A点的抛物线的切线与y轴相交于C点，求证：|AF|=|CF|；
（2）若
OA
•
OB
+p2=0（A、B异于原点），直线OB与过A且垂直于X轴的直线m相交于P点，求P点轨迹方程；
（3）若直线AB过抛物线的焦点，分别过A、B点的抛物线的切线相交于点T，求证：
AT
•
BT
=0，并且点T在l上．
（2009•青浦区二模）（理）已知A、B是抛物线y2=4x上的相异两点．
（1）设过点A且斜率为-1的直线l1，与过点B且斜率为1的直线l2相交于点P（4，4），求直线AB的斜率；
（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线上的相异两点A、B所作的两条直线l1、l2相交于圆锥曲线Γ上一点；结论是关于直线AB的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；
（3）若线段AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点Q（x0，0）．若x0=5，试用线段AB中点的纵坐标表示线段AB的长度，并求出中点的纵坐标的取值范围．
（2009•青浦区二模）（文）已知A、B是抛物线y2=4x上的相异两点．
（1）设过点A且斜率为-1的直线l1，与过点B且斜率为1的直线l2相交于点P（4，4），求直线AB的斜率；
（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线上的相异两点A、B所作的两条直线l1、l2相交于圆锥曲线Γ上一点；结论是关于直线AB的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；
（3）若线段AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点Q（x0，0）．若x0＞2，试用x0表示线段AB中点的横坐标．
已知A，B是抛物线x2=2py（p＞0）上的两个动点，O为坐标原点，非零向量
OA
， 
OB
满足|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|．
（Ⅰ）求证：直线AB经过一定点；
（Ⅱ）当AB的中点到直线y-2x=0的距离的最小值为
2
5
5
时，求p的值．

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