Question

已知各项均为正数的数列满足，， .

（Ⅰ）求证：数列是等比数列； 

（Ⅱ）当取何值时，取最大值，并求出最大值；

（Ⅲ）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（I）见解析

（II）当n=7或n=8时，取最大值，最大值为．

（III）实数的取值范围是

解析:

（I）∵，，，

     ∴． 即．

又，所以．

∵，

 ∴是以为首项，公比为的等比数列．

（II）由（I）可知 （）．

      ∴．

    ．

 当n=7时，，；

 当n<7时，，；

 当n>7时，，．

∴

当n=7或n=8时，取最大值，最大值为．

（III）由，得       （*）

依题意（*）式对任意恒成立，

当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意．

②当t<0时，由，可知（）．

而当m是偶数时，因此t<0不合题意．

③当t>0时，由（）,

∴   ∴． （）

设     （）

∵ =,

∴．∴的最大值为．

所以实数的取值范围是．