已知

a

=(x， 0)，

b

=(1， y)，且(

a

+

3

b

)⊥(

a

-

3

b

)．
（1）求点P（x，y）的轨迹C的方程，且画出轨迹C的草图；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与上述曲线C交于不同的两点A、B，求实数k和m所满足的条件；
（3）在（2）的条件下，若另有定点D（0，-1），使|AD|=|BD|，试求实数m的取值范围．

已知直线l：x=my+1（m∈R）与椭圆C：

x2

9

+

y2

t

=1(t＞0)相交于E，F两点，与x轴相交于点B．，且当m=0时，|EF|=

8

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点A的坐标为（-3，0），直线AE，AF与直线x=3分别交于M，N两点．试判断以MN为直径的圆是否经过点B？并请说明理由．

已知直线l：y=2x与抛物线C：y=

1

4

x²交于A（x_A，y_A）、O（0，0）两点，过点O与直线l垂直的直线交抛物线C于点B（x_A，y_B）．如图所示．
（1）求抛物线C的焦点坐标；
（2）求经过A、B两点的直线与y轴交点M的坐标；
（3）过抛物线x²=2py的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点A、B的直线AB是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=2，点P在椭圆上，且△PF₁F₂的周长为6．过椭圆C的右焦点的动直线l与椭圆c相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若线段AB中点的横坐标为

1

2

，求直线l的方程；
（3）若线段AB的垂直平分线与x轴相交于点D．设弦AB的中点为P，试求

| DP |

| AB |

的取值范围．

已知椭圆C两焦点坐标分别为F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，一个顶点为A（0，-1）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，使直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，满足|AM|=|AN|．若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

椭圆

x2

100

+

y2

36

=1的焦距等于（　　）

已知a是实数，直线2x-y+5=0与直线x-y+a+4=0的交点不在椭圆x²+2y²=11上，求a的取值范围．

已知a是实数，三条直线2x-y+5=0，x-y+a+4=0，x+a=0中任意两条的交点均不在椭圆x²+2y²=11上，求a的取值范围．

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F(-

2

，0)，离心率e=

2

2

，M，N是椭圆上的动点．
（Ⅰ）求椭圆标准方程；
（Ⅱ）设动点P满足：

OP

=

OM

+2

ON

，直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，问：是否存在定点F₁，F₂，使得|PF₁|+|PF₂|为定值？，若存在，求出F₁，F₂的坐标，若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA并延长交椭圆于点B，设直线MN、MB的斜率分别为k_MN、k_MB，求k_MN•k_MB的值．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的离心率e=

2

2

，过焦点垂直于长袖的直线被椭圆截得的线段长为

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）斜率为k的直线l与椭圆C交于P、Q两点，

OP

•

OQ

=0（0为坐标原点），试求直线l在y轴上截距的取值范围．