Question

已知a是实数，三条直线2x-y+5=0，x-y+a+4=0，x+a=0中任意两条的交点均不在椭圆x²+2y²=11上，求a的取值范围．

Answer 1

分析：先通过联立任两个方程得到的方程组的解，找到任意两条直线的交点坐标，根据任意两条直线的交点均不在椭圆x²+2y²=11上，则每个交点坐标代入椭圆方程，均不成立，求出a的范围．

解答：解：前两条直线的交点即方程组

2x-y-5=0 x-y-a-4=0

的解，此时（x，y）=（1-a，-2a-3）
该点不在椭圆x²+2y²=11上，当且仅当（1-a）²+2（-2a-3）²≠11
解得，a≠-2，a≠-

4

9

第一条与第三条直线的交点即方程组

2x-y+5=0 x+a=0

的解，此时（x，y）=（-a，5-2a）
该点不在椭圆x²+2y²=11上，当且仅当（-a）²+2（5-2a）²≠11
解得，a≠3，切a≠

13

9

后两条直线的交点即方程组

x-y+a+4=0 x+a=0

的解，此时（x，y）=（-a，4），该点不在椭圆x²+2y²=11上，
当且仅当（-a）²+2×4²≠11，该不等式恒成立
综上，a的范围为（-∞，-2）∪（-2，-

4

9

）∪（-

4

9

，

13

9

）∪（

13

9

，3）∪（3，+∞）

点评：本题主要考查了直线交点的计算，以及直线与椭圆位置关系的判断，属于直线方程与圆锥曲线的综合题．