题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F(-
2
，0)，离心率e=
2
2
，M，N是椭圆上的动点．
（Ⅰ）求椭圆标准方程；
（Ⅱ）设动点P满足：
OP
=
OM
+2
ON
，直线OM与ON的斜率之积为-
1
2
，问：是否存在定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？，若存在，求出F1，F2的坐标，若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA并延长交椭圆于点B，设直线MN、MB的斜率分别为kMN、kMB，求kMN•kMB的值．
分析：（Ⅰ）根据椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F(-
2
，0)，离心率e=
2
2
，可得c=
2
，a=2，利用b=
a2-c2
=
2
，可求得椭圆标准方程；
（Ⅱ）将
OP
=
OM
+2
ON
坐标化，利用直线OM与ON的斜率之积为-
1
2
，可计算x2+2y2=20，从而可知存在定点F1(-
10
，0)，F2(
10
，0)，使得|PF1|+|PF2|为定值．
（Ⅲ）设M点坐标为（x0，y0），则N点坐标为（-x0，-y0），A坐标为（x0，0），，写出直线NA方程为和椭圆联立，可求得B的坐标（x，y），进而可计算kMB，kMN，即可求得kMN•kMB的值．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F(-
2
，0)，离心率e=
2
2
，
∴c=
2
，a=2
∴b=
a2-c2
=
2

∴椭圆标准方程为
x2
4
+
y2
2
=1；
（Ⅱ）设P（x，y），M（x1，y1 ）、N（x2，y2 ）．
∵
OP
=
OM
+2
ON
，
∴（x，y）=（x1+2x2，y1+2y2），∴x=x1+2x2，y=y1+2y2，
∵M、N是椭圆上的点，∴
x12
4
+
y12
2
=1，
x22
4
+
y22
2
=1．
∴x2+2y2=（x1+2x2）2+2 （y1+2y2）2=（x12+2y12 ）+4（x22+2y22 ）+4（x1x2+2y1y2）=20+4（x1x2+2y1y2）．
∵直线OM与ON的斜率之积为-
1
2
，
∴
y1y2
x1x2
=-
1
2

∴x1x2+2y1y2=0，
∴x2+2y2=20，即
x2
20
+
y2
10
=1
∴存在定点F1(-
10
，0)，F2(
10
，0)，使得|PF1|+|PF2|为定值．
（Ⅲ）设M点坐标为（x0，y0），则N点坐标为（-x0，-y0），A坐标为（x0，0），
直线NA方程为y=
y0
2x0
(x-x0)和椭圆联立
y=
y0
2x0
(x-x0)
x2
4
+
y2
2
=1
，消去y整理得
(1+
y02
2x02
)x2-
y02
x0
x-4+
y02
2
=0
设B（x，y），则-x0+x=
2x0y02
2x02+ y02
，∴y-y0=
-2y0x02
2x02+y02

∴
y-y0
x-x0
=-
x0
y0
，∴kMB=-
x0
y0

∵kMN=
y0
x0
，
∴kMN•kMB=-1．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查存在性问题的探求，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生运算、分析解决问题的能力，综合性强．
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
1
2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
PF1
•
PA
的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
AH
2=
MH
•
HN
，求证：直线l恒过定点．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
3
2
，且经过点M（2，1），直线y=
1
2
x+m(m＜0)与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．
（2013•威海二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
6
3
，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
ND
•
MP
AB
2
为定值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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