Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的离心率e=

2

2

，过焦点垂直于长袖的直线被椭圆截得的线段长为

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）斜率为k的直线l与椭圆C交于P、Q两点，

OP

•

OQ

=0（0为坐标原点），试求直线l在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率e=

2

2

，由焦点垂直于长袖的直线被椭圆截得的线段长为

2

得到

2b2

a

=

2

，结合a²=b²+c²即可
求得a²=2，b²=1，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出直线方程y=kx+n，和椭圆方程联立后得到关于x的一元二次方程，由判别式大于0得到关于k和n的不等式，
由根与系数关系得到x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2n2-2

2k2+1

．代入

OP

•

OQ

=0得到k与n的等式，把k用n表示后代入不等式即可求出n的范围．

解答：解（Ⅰ）依题意，

c

a

=

2

2

，

2b2

a

=

2

，a²=b²+c²．
联立解得a²=2，b²=1．
所以椭圆方程为

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+n，由

y=kx+n x2 2 +y2=1

，得
（2k²+1）x²+4knx+2n²-2=0．
则△=16k²n²-8（n²-1）（2k²+1）＞0，即2k²-n²+1＞0①
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2n2-2

2k2+1

．
由

OP

•

OQ

=0可得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+n）（kx₂+n）=0．
整理可得(k2+1)x1x2+kn(x1+x2)+n2=0．
即

(k2+1)(2n2-2)

2k2+1

+kn•(

-4kn

2k2+1

)+n2=0．
化简可得3n²=2k²+2，代入①整理可得n2＞

1

2

，
所以n＜-

2

2

或n＞

2

2

．
故直线l在y轴上的截距的取值范围是（-∞，-

2

2

）∪（

2

2

，+∞）．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了平面向量的数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了一元二次方程中根与系数关系的运用，是中档题．