已知函数f(x)=

x

1+x2

的定义域为（-1，1）．求：
（I）判断并证明f（x）在定义域内的单调性；
（Ⅱ）解关于t的不等式f(t-

1

2

)+f(t)＜0．

（1）设U=R，A={x|x≥1}，B={x|0＜x＜5}，求（?_UA）∪B和A∩（?_UB）．
（2）若偶函数f（x）在（-∞，0]上为增函数，求满足f（1）≤f（a）的实数a的取值范围．

已知函数f（x）是R上的偶函数．
（1）证明：f（x）=f（|x|）
（2）若当x≥0时，f（x）是单调函数，求满足f(x)=f(

x+3

x+4

)的所有x之和．

已知函数f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若对于任意的m、n∈[-1，1]有

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）解不等式f(x+

1

2

)＜f(1-x)；
（3）若f（x）≤-2at+2对于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

若函数f（x）同时满足下列两个性质，则称其为“规则函数”
①函数f（x）在其定义域上是单调函数；
②在函数f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是

a

2

，且最大值是

b

2

．
请解答以下问题：
（Ⅰ） 判断函数f（x）=x²-2x，（x∈（0，+∞））是否为“规则函数”？并说明理由；
（Ⅱ）判断函数g（x）=-x³是否为“规则函数”？并说明理由．若是，请找出满足②的闭区间[a，b]；
（Ⅲ）若函数h(x)=

x-1

+t是“规则函数”，求实数t的取值范围．

定义域为R的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），且当x∈（0，1）时，f(x)=

2x-1

2x+1

．
（Ⅰ）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（Ⅱ）若存在x∈（0，1），满足f（x）＞m，求实数m的取值范围．

对于函数f(x)=

1

3x+1+3

+a，a∈R
（1）探索函数y=f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（2）是否存在实数a，使函数y=f（x）为奇函数？

已知函数f(x)=

1

2x-1

+

a

2

．
（1）求f（x）的定义域；
（2）若f（x）是奇函数，求a的值．

已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=2x+x²，求f（x）在R上的解析式，并分别指出f（x）的增区间、减区间．

设f（x）是R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）=x（1+x），求f（x）在（-∞，0）上的表达式和在R上的表达式．