Question

已知函数f(x)=

x

1+x2

的定义域为（-1，1）．求：
（I）判断并证明f（x）在定义域内的单调性；
（Ⅱ）解关于t的不等式f(t-

1

2

)+f(t)＜0．

Answer 1

分析：（I）定义法：设x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，利用作差可判断f（x₂）与f（x₁）的大小关系，根据单调性的定义可得结论；
（II）先判断f（x）为奇函数，然后利用奇偶性、单调性去掉不等式中的符号“f”，解不等式组即可，注意定义域；

解答：解：（I）f（x）在定义域内为增函数，证明如下：
设x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=

x2

1+ x 2 2

-

x1

1+ x 2 1

=

x2+x2 x 2 1 -x1-x1 x 2 2

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

=

(x2-x1)(1-x2x1)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

，
∵-1＜x₁≤x₂＜1，∴x₂-x₁＞0，1-x₂x₁＞0，
∴有f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在定义域内为增函数；
（II）∵f（x）定义域为[-1，1]且关于原点对称，
又f（-x）=-

x

1+x2

=-f（x），
∴f（x）在定义域内为奇函数，
由f(t-

1

2

)+f(t)＜0，得f(t-

1

2

)＜-f(t)=f(-t)，
又f（x）在（-1，1）上单调递增，∴-1＜t-

1

2

＜-t＜1，
解得t∈(-

1

2

，

1

4

)．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断及其应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，利用函数性质化抽象不等式为具体不等式是解题关键．